Минимальные формы не полностью определенных булевых функций.

 

Не полностью определенными переключательными функциями называются функции, значения которых на некоторых наборах не определены, т.е. могут быть как нулями, так и единицами.

Наборы, на которых функция не определена, называется запрещенными или избыточными.

Форма представления функции существенно зависит от выбора значений ее на избыточных наборах.

 

Пример. Функция f(ABC) приведена в табл.1.20.

 

Таблица 1.20

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

f(ABC) 1 0 0 0 - 1 1 -

 

МДНФ

МДНФ

Рассмотрим общий метод получения МДНФ не полностью определенных булевых функций.

Пусть булева функция f(x₁ x₂ … x_n) не определена на p наборах аргументов. Тогда полностью определенная функция φ(x₁ x₂ … x_n) называется эквивалентной функции f(x₁ x₂ … x_n), если ее значения совпадают со значениями функции f(x₁x₂…x_n) на тех наборах, на которых последняя определена.

Если функция f(x₁ x₂ … x_n) не определена на р наборах, то существует 2^p различных функций, эквивалентных данной.

Задача минимизации не полностью определенных функций сводится к отысканию такой эквивалентной функции φ_i(x₁x₂…x_n), которая имеет простейшую минимальную форму.

Введем эквивалентные функции φ₀(x₁x₂…x_n) и φ₁(x₁x₂…x_n), которые на всех запрошенных наборах функции f(x₁x₂…x_n) принимают значения 0 и 1 соответственно.

 

Теорема. Минимальная ДНФ не полностью определенной функции f(x₁x₂…x_n) совпадает с дизъюнкцией тех самых коротких импликант функции φ₁(x₁x₂…x_n), которые совместно поглощают все единицы функции φ₀(x₁x₂…x_n) и ни одна из них не является лишней.

Доказательство следующее.

Предположим, что φ_i(x₁x₂…x_n) – некоторая эквивалентная функция. Тогда все минтермы СДНФ φ_i входят в СДНФ функции φ₁. Поэтому любая импликанта функции φ_i(x₁x₂…x_n) будет совпадать с импликантой функции φ₁ или поглощаться ею, т.е. среди импликант функции φ₁ всегда найдется такая, которая поглощает любую импликанту любой эквивалентной функции φ₁. Следовательно, самыми короткими импликантами из всех накрывающих единицы функции f(x₁x₂…x_n) будут импликанты функции φ₁.

Среди всех эквивалентных функций φ₀ имеет минимальное количество минтермов. Следовательно, и количество простых импликант (из набора импликант функции φ₁), необходимых для поглощения минтермов φ₀, будет минимальным. Дизъюнкция самых коротких импликант функции φ₁, которые совместно накрывают все единицы φ₀, представляет МДНФ f(x₁x₂…x_n).

 

Пример. Найти МДНФ функции:

причем наборы < >, < >, < >, < > являются запрещенными.

Проводим процедуру, описанную в методе Квайна, используя минтермы как функциональных, так и запрещенных наборов функции:

Составляем импликантную матрицу (табл.1.21), используя минтермы только функциональных наборов функции.

Таблица 1.21

Минимальная форма исходной функции

Импликанта ACD не поглощает ни один минтерм функциональных наборов, так как образована из тех минтермов функции φ₁, которые в φ₀ не входят.

 

Пример. Найти МДНФ и МКНФ не полностью определенной функции

Причем наборы , и являются запрещенными.

Используем метод карт Вейча (рис.1.11).

 

Незаполненные клетки карты соответствуют запрещенным наборам.

Карта для обратной функции

приведена на рис.1.12.