Балансовые уравнения переноса дифференциальной формы

При локальном равновесии каждая точка среды характеризуется своими параметрами - температурой, концентрацией, давлением. В неравновесной системе возникают градиенты, которые вызывают соответствующий перенос (поток). Другими словами, данная среда находится в неоднородном поле потенциала переноса. Под потенциалом переноса подразумевается удельная отнесённая к единице объёма масса или энергия.

𝜑, потенциал переноса – удельная отнесённая к единице объёма масса или энергия.

, или ,

Удельный поток , или .

Молекулярный механизм переноса массы вещества обусловлен стремлением системы к термодинамическому равновесию.

1) Закон переноса (закон Фика): ; m – масса, М – индекс обозначает молекулярный перенос, D – коэффициент диффузии;

2) Уравнение теплопроводности: ;

Общее аналитическое выражение для потенциала переноса в молекулярном механизме: , где к – некий коэффициент пропорциональности.

Конвективный перенос (в среде возникают градиенты скоростей), быстрые перенос массы веществ, выравнивание параметров системы по всему объёму.

;

Рассмотрим некоторый элемент объёма движущейся жидкости, сориентируем его по осям координат, выделим в этом объёме элемент поверхности (рис 1)

Нас интересуют: 1) вход и выход вещества в элемент объёма; 2) наличие происходящего химического процесса.

*примечания:

1) [ДЦ1] Знак минус перед первым интегралом обусловлен разной направленностью векторов dS и q;

2) Первый интеграл по объёму позволяет рассчитать изменения, связанные с протеканием химической реакции (в текущий курс не входит, условно приравниваем к нулю)

3)В общем случае изменение количества вещества влияет на потенциал переноса

Из теоремы Остроградского-Гаусса следует:

, откуда приходим к уравнению переноса:

Вывод уравнения неразрывности

; , , т.к. принимаем жидкость за чистую

Следовательно, и

Для нестационарного потока уравнение неразрывности имеет вид:

При стационарности потока первое слагаемое в уравнении неразрывности для нестационарного потока обращается в ноль, получаем следующее уравнение:

Для капельных жидкостей плотность – величина постоянная, следовательно,

 

Уравнение неразрывности при соблюдении всех оговоренных ранее условий в дифференциально форме имеет вид:

Рассмотрим движение чистой жидкости, текущей без пустот и разрывов в отсутствие источников массы и энергии. База - уравнение переноса.

Перенос в данных условиях может возникать только за счет изменения плотности:

 

– интегральная форма уравнения неразрывности

Рассмотрим соленоидный поток (течения через стенки соленоида нет).

Для некапельных жидкостей справедливо равенство

– массовый поток АКА массовый расход (постоянство),

Для капельных жидкостей -

- объёмный расход (постоянство),