Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях физической величины её вычисляют по результатам прямых измерений других величин, с которыми она связана функциональной зависимостью. Пусть искомая физическая величина функционально зависит от других независимых величин следующим образом

где – величины, которые можно получить в процессе прямых измерений.

Требуется определить абсолютную и относительную погрешности измерения величины у.

В теории погрешностей доказывается, что абсолютная погрешность косвенных измерений рассчитывается по формуле

,

(12)

где – частная производная функции по переменной ; – абсолютная погрешность отдельного прямого измерения величины .

Абсолютные погрешности измерений , , и др. определяются для одного и того же значения доверительной вероятности с использованием коэффициентов Стьюдента по формуле (6). Среднее значение измеряемой величины рассчитывается по формуле (1). В итоге, абсолютную погрешность вычисляют, используя формулу (12).

Относительную погрешность косвенных измерений рассчитывают по формуле

.

(13)

Во многих случаях удобнее сначала вычислить относительную погрешность, а затем абсолютную погрешность по формуле

(14)

Пример – Искомая величина является функцией одной переменной , т.е. . Абсолютная погрешность . Разделим последнее выражение на . Теперь примем во внимание, что представляет собой производную по переменной натурального логарифма . В результате получим

Этой формулой удобно пользоваться, если функция представляет собой дробь или произведение и, следовательно, удобна для логарифмирования.

Таким образом, при обработке результатов косвенных измерений нужно выполнить следующие действия:

– если искомая физическая величина представляет собой сумму или разность физических величин, измеряемых непосредственно, то сначала, применяя формулу (12), находим абсолютную погрешность

 

(15)

 

– если искомая физическая величина представляет собой произведение или частное независимых аргументов, то легче сначала найти относительную погрешность, которая может быть рассчитана по формуле (13), а затем – абсолютную по формуле (14);

– если в расчетную формулу искомой величины входят величины, которые не измеряются в данном эксперименте и известны с достаточно большой точностью (например, константа π, ускорение свободного падения g и др.), то их значения следует выбирать такими, чтобы относительной погрешностью этих величин можно было пренебречь по сравнению с другими погрешностями. Для этого их относительная погрешность должна быть на порядок (в 10 раз) меньше наибольшей относительной погрешности физических величин, измеряемых непосредственно.

Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность принимают равной половине порядка последней значащей цифры.

Пример – π=3,14, Δπ=0,005.