Коэффициенты асимметрии и эксцесса

Теоретические сведения [1, 2, 3, 4].

Среднее и дисперсия не отражают всех особенностей кривой распределения случайной величины. Одной из них характеристик является симметрия или асимметрия кривой распределения относительно, проходящей через центр тяжести. В любом симметричном распределении центральный момент произвольного порядка равен нулю. Поэтому простейший из нечетных моментов – центральный момент третьего порядка – может в первом приближении служить характеристикой асимметрии распределения.

Асимметрия. Асимметрия или коэффициент асимметрии (термин был впервые введён Пирсоном, 1895 г.) является мерой несимметричности распределения. Если этот коэффициент отчетливо отличается от 0, распределение является асимметричным. Плотность нормального распределения симметрична относительно среднего.

Асимметрию распределения принято характеризовать безразмерным отношением

где m₃ – центральный момент третьего порядка, s – среднеквадратичное отклонение (корень квадратный из дисперсии), которое называется коэффициентом асимметрии. Оценка коэффициента асимметрии (выборочный коэффициент асимметрии) вычисляется по формуле (2). Если А=0, то распределение симметричное. При положительном значении – правая ветвь более пологая, чем левая. И, наоборот, при отрицательном значении коэффициента асимметрии.

Эксцесс. Эксцесс[2] или точнее, коэффициент эксцесса измеряет "пикообразность" распределения. Если эксцесс значимо отличен от 0, то функция плотности либо имеет более закругленный, либо более острый пик, чем пик плотности нормального распределения. Функция плотности нормального распределения имеет эксцесс равный 0. В качестве характеристики слаженности кривой распределения около её моды используют безразмерный коэффициент эксцесса:

где m₄ – центральный момент четвёртого порядка. Оценка эксцесса (выборочный эксцесс) вычисляется по формуле (2).

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс. Положительное значение указывает на то, что кривая распределения в окрестности моды имеет более острую вершину, чем кривая нормального распределения с тем же средним и дисперсией. Отрицательное значение указывает на более плоский характер вершины по сравнению с соответствующей кривой нормального закона распределения.

В случае положительной асимметрии распределение имеет длинную правую ветвь. Средняя величина дохода больше медианы, которая в свою очередь больше моды. Значение средней больше медианы и моды, потому что на нее повлияли несколько очень больших значений доходов.

Отрицательная асимметрия проявляется в виде более длинной левой ветви, а величина средней меньше медианы и моды. Большинство наблюдений распределения имеют значения больше средней, но величина средней снижается из-за нескольких очень малых наблюдений.

Рис. 2. Асимметрия распределения	Рис. 3. Эксцесс распределения

При симметричном распределении средняя, медиана и мода имеют одно и то же значение. Например, для нормального закона распределения эти характеристики равны.