Статистический приемочный контроль продукции .

(метод Неймана- Пирсона)

Задача проверки гипотезы заключается в определении критической области максимальной мощности при заданной вероятности ошибки первого рода . Очевидно, при этом мы будем иметь минимальную вероятность ошибки второго рода .

При проверке простой гипотезы против простой альтернативы эта задача сводится к выбору критической области . Для определения критической области статистики используют уровень значимости и учитывают вид альтернативной гипотезы . Основная гипотеза о значении неизвестного параметра распределения выглядит так:

 

.

Альтернативная гипотеза имеет при этом следующий вид:

Соответственно можно получить левостороннюю, правостороннюю или двустороннюю критические области.

Проверка статистической гипотезы состоит из следующих этапов:

1) определение гипотез и ;

2) выбор статистики и задание уровня значимости ;

3) определение по таблицам, по уровню значимости и по альтернативной гипотезе критической области;

4) вычисление по выборке значения статистики;

5) сравнение значений статистики с критической областью;

6) принятие решения: если значение статистики не входит в критическую область, то принимается гипотеза и отвергается гипотеза , а если входит в критическую область, то отвергается гипотеза и принимается гипотеза .

7) приемочный уровень и число испытаний определяются из решения системы:

.

В дальнейшем предположим, что случайная величина Х распределена нормально.

 

Ставится задача различения двух гипотез о значении математического ожидания:

 

 

Для заданного риска поставщика, имеем

 

;

где -- приемочный уровень, -- точечная оценка математического ожидания.

Отсюда

;

где -- объем выборки, -- среднее квадратическое отклонение.

Приравнивая аргументы, получим

.

Принимая риск заказчика,равным ,найдем

;

Отсюда

;

Приравнивая аргументы, получим

.

Вычитая из первого равенства второе, найдем

;

 

Отсюда (4.1)

Из первого соотношения имеем

 

Отсюда

(4.2)

 

Задача выборочного контроля в данном случае состоит в том, чтобы по результатам анализа выборочных характеристик (среднего арифметического значения ) сделать заключение о браковке или приемки партии.

В дальнейшем рассмотрим схему проведения количественного контроля. Предположим, что партия забраковывается, когда процент брака равен и принимается когда процент брака равен .

Таким образом требуется различить две гипотезы:

гипотеза приемка партии;

гипотеза браковка партии.

От исходных гипотез перейдем к гипотезам различения математических ожиданий:

; .

При решении задачи предположим, что отказ наступает при выполнении условия .

Тогда, в предположении нормального закона распределения, вероятность отказа будет равна

 

,

где аргумент функции нормированного нормального распределения, соответствующий вероятности отказа . Приравнивая аргументы, получим

Отсюда найдем .

Для определения приемочного уровня и числа испытаний n воспользуемся соотношениями (4.1) и (4.2). Учитывая, что , получим

 

,

где ; .

 

Пример. Рассмотрим задачу различения двух гипотез:

 

приемка партии,

браковка партии.

При задании исходных данных воспользуемся результатами статистической обработки механических свойств листов из сплава АМг6Н:

 

МПа – математическое ожидание предела прочности,

МПа - среднее квадратическое отклонение предела прочности,

МПа - предел прочности материала по ГОСТу,

- риски поставщика и заказчика.

Результаты расчетов представлены ниже:

 

Заметим, что для партии листов с принятыми характеристиками, вероятность брака будет равна

 

Лекция №13