Элементы современной теории вероятности

В качестве математических основ теории вероятности в настоящее время широко используются представления теории множеств:

 

Каждый возможный отдельный исход наблюдения рассматривается как элемент полного, универсального множества. При этом пространство всех возможных элементарных исходов Z отождествляется с универсуму U (в теории множеств) элементарному событию ставится в соответствии элемент множества, а отдельный исход – с элементом этого множества.

Всякому случайному событию соответствует некоторое подмножество элементарных исходов пространства Z; такая совокупность, соответственно, рассматривается как некоторое подмножество А универсума U (~ Z). В частности:

Невозможному событию ставится в соответствие пустое множество A= , достоверному событию (Z) универсум U,

а противоположному событию дополнение =U\A=Z\A.

 

Далее, в виде аксиом вводится весовая функция как отображение множества событий на множество вещественных чисел в интервале [0, 1]:

 

1. Любому случайному событию A Ì Z соответствует неотрицательное некоторое число (вес события при указанном отображении), называемое вероятностью этого события:

2. Вероятность достоверного события равна 1:

P(Z)=1

3. Если А и В - несовместные события (соответствующие множества A и B не пересекаются A∩B=Æ), то вероятность Р(АU В)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

 

Если всё пространство элементарных событий состоит из конечного числа элементов, то этих трех положений достататочно, чтобы получить расчетные формулы вероятности для любых событий.

Если же Z будет бесконечным множеством, то дополнительно вводится еще аксиома непрерывносити:

4. Для убывающей последовательных событий (A₁, A₂,..., A_n,...), для которых и , считается справедливым соотношение:

Основные соотношения

 

Любое событие А и его дополнение несовместны; они дополняют друг друга до полного пространства событий () и поэтому ;

отсюда следует, что

в частности –

.

Используя свойство ассоциативности дизъюнктивной суммы A₁+ A₂+ A₃=A₁+(A₂+ A₃ ) и аксиому 3, для попарно несовместных событий будем иметь

 

P(A₁+ A₂+ A₃) = P(A₁)+P(A₂+ A₃) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃).

 

В соответствии с этим записывается теорема сложения для любого числа n несовместных событий:

.

Рассмотрим два события A и B. Соответствующие им множества A и B разбивают весь универсум на четыре непересекающиеся подмножества (см. рис.), каждое из которых будет соответствовать определенному событию:

 

 

Через эти части можно записать, что (аналогично ),

а также -

 

Слагаемые в правых частях этих равенств не пересекаются и потому, согласно аксиоме 3, будут справедливы следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

;

5) .

Учитывая приведенные формулы 1 и 2, для двух совместных событий легко получить:

Поскольку вероятность любых событий A и B больше или равна нулю (в том числе ) то из трех последних соотношений следует:

 

В случае, когда A и B несовместны, и эти неравенства переходят в равенства.

Далее, условная вероятность события B (определяемая при условии выполнения события A), по определению, принимается равной

 

Отсюда следует, что:

для зависимых событий - ;

 

для независимых событий -

 

ЛЕК.5