Теория:Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

a ⊥ AB

a ⊥ ABBC ⊥ BA }⇒ a ⊥ CA

21. Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

a ⊥ AC

a ⊥ ACBC ⊥ BA }⇒ a ⊥ BA

Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

ABCD квадрат, все углы которого равны по 900 градусов. 1. Грань ASB - прямоугольный треугольник, 2. Грань BSC - прямоугольный треугольник, т.к. BS - перпендикуляр к плоскости.

3. Грань DSC - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: CD ⊥ BC,т.к. ABCD − квадрат. SB ⊥ BC,т.к.перпендикуляр}⇒ CD ⊥ SC значит, ∢ SCD =900 4. Грань ASD - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: AD ⊥ AB,т.к. ABCD − квадрат SB ⊥ AB,т.к.перпендикуляр}⇒ AD ⊥ SA значит, ∢ SAD =900 22. Перпендикулярные плоскости – основные сведения. Определение перпендикулярных плоскостей дается через угол между пересекающимися плоскостями. Определение.Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам. Для обозначения перпендикулярности используют символ вида «». То есть, если плоскости и перпендикулярны, то можно кратко записать . Если плоскости и перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость перпендикулярна к плоскости или плоскость перпендикулярна к плоскости . Поэтому перпендикулярные плоскости и часто называют взаимно перпендикулярными. 23. Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности. Теорема.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны. Теорема.Для перпендикулярности двух пересекающихся плоскостей необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы этих плоскостей были перпендикулярны. Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Если и - нормальные векторы плоскостей и соответственно, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид . Таким образом, если и - нормальные векторы плоскостей и соответственно, то для перпендикулярности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство . 24. Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение. В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Теорема.Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая. Доказательство. Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a1. Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости (так как прямая a параллельна прямой a1, лежащей в плоскости ). Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой. Определение.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую. Определение.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой. Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М1, через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a, и из точки М1 опустим перпендикуляр М1H1 на плоскость . Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.   25. Координаты точки Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.     Оси координат Ox, Oy и Oz называются соответственно: Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: (Oxy), (Oyz) и(Oxz).       Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами: x, y и z.     Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записываются так: A (x; y; z). Если точка находится на оси Ox, то её координаты X (x;0;0). Если точка находится на оси Oy, то её координаты Y (0; y;0). Если точка находится на оси Oz, то её координаты Z (0;0; z).   Если точка находится в плоскости Oxy, то её координаты A 1(x; y;0). Если точка находится в плоскости Oyz, то её координаты A 2(0; y; z). Если точка находится в плоскости Oxz, то её координаты A 3(x;0; z).

26. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)²

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)² + (z_b - z_a)²

27. Кординаты середины отрезка

28.

28.Центрально симметричные точки.

Если возьмём какую-нибудь точку О, проведём через неё прямую и отложим на этой прямой по разные стороны от точки O равные отрезки ОВ и ОС (черт. 231), то получим две точки В и С, центрально симметричные относительно точки О. Точка О называется центром симметрии этих точек.

Центрально симметричными относительно центра О называются две точки, которые лежат на одной прямой, проходящей через центр О, на равных расстояниях от центра О.

Если повернуть отрезок ОС вокруг точки О на 180°, то точки С и В совпадут. Две фигуры называются центрально симметричными относительно центра О, если при повороте одной из них вокруг этого центра на 180° они совместятся всеми своими точками.

29. Центрально симметричные отрезки.

Возьмём две пары центрально симметричных точек относительно точки О (черт. 232): ОВ = ОВ' и ОС = ОС'. Соединим отрезками точки В и С, В' и С'. Получим отрезки ВС и В'С', концы которых центрально симметричны относительно точки О.

Если повернём чертёж вокруг точки О на 180°, то точки В' и С' займут соответственно положение точек В и С. Отрезки В'С' и ВС совместятся, они центрально симметричны. Центрально симметричные отрезки равны.