Применение операционного исчисления к решению линейных

Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и

Непрерывной правой частью

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (6. 1)

f (t) – непрерывная функция действительного переменного.

Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

(6. 2)

где – заданные числа (задача Коши).

Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) = L ^–1{ F (p)}, y (t) = L ^–1{ Y (p)}.

Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).

Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:

Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:

. (6.3)

Из уравнения (6. 3) выразим .Искомое частное решение y (t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.

Задание 4. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y (p) – его изображение. Тогда:

Операторное уравнение будет иметь вид

откуда

.

Дробь разложим на сумму простых элементарных дробей и найдем коэффициенты разложения:

Из системы:

Откуда .

Тогда

.

Используя таблицы соответствия, найдём:

Таким образом, искомое частное решение:

Тема 7. Основные уравнения математической физики.

1.Знать определение дифференциального уравнения в частных производных.

2.Знать, что является решением дифференциальных уравнений в частных производных, какие условия являются начальными, а какие граничными (краевыми).

3.Уметь находить решение задачи Коши о колебаниях бесконечной струны.

Задания для самостоятельного выполнения

1 Методом Даламбера найти уравнение u = u (x. t) формы однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

если в начальный момент t ₀ = 0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями

u(x,0) = fx), :

а) ; б) .

Образец решения задания

Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

при начальных условиях

u(x,0) = fx), .

Искомое решение задачи Коши для бесконечной струны u (x,t) определяется по формуле:

,

которая называется формулой Даламбера для бесконечной струны.

Задание 1. Найти форму бесконечной однородной струны, если начальная форма струны f (x) = e^x, а начальная скорость ее F (x) = cos2 x.

Решение. Искомое решение u (x,t) найдем по формуле Даламбера:

.

Так как f (x) = e^x, F (x) = cos2 x, то

.

 

Тема 8. Математическая статистика