Тема. Решение задач линейной алгебры в электронных таблиц MS Excel.

Цель работы. Изучение средств MS Excel для решения задач линейной алгебры, приобретение навыков работы с множественными типами данных и матричными функциями в электронных таблицах.

Задание. Решить следующие задачи.

1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы, выполнить проверку.

2. Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера.

3. Выполнить действия над матрицами.

 

Вариант №1 1) 2)

3) 2 (A + B) (2B – A),

Вариант №2 1) 2)

3) 3 A - (A + 2B) B,

Вариант № 3 1) 2)

3) 2(A–B)(A² + B),

Вариант №4 1) 2)

3) (A² – B²)(A + B),

Вариант №5 1) 2)

3) (A–B²)(2A+B),

Вариант №6 1) 2)

3) (A – B) A + 2B,

Вариант №7 1) 2)

3) 2(A–0,5B)+AB,

Вариант №8 1) 2)

3) (A – B)A + 3B,

Вариант №9 1) 2)

3) 2A – (A² + B) B,

Вариант №10 1) 2)

3) 3 (A² – B²) –2АB,

Вариант №11 1) 2)

3) (2A–B)(3А+B)–2АВ,

Вариант №12 1) 2)

3) А(A²–B)-2(B+А)В,

Вариант №13 1) 2)

3) (A+B)A–B(2А+3В),

Вариант №14 1) 2)

3) A(2A+B)–B(А–В),

Вариант №15 1) 2)

3) 3(A+B)(AВ–2А),

Вариант №16 2)

3) где

Вариант №17 1) 2)

3) 2А + 3B(АB-2А),

Вариант №18 1) 2)

3)

Вариант №19 1) 2)

3) 2A - АB(В - А) + В,

Вариант №20 1) 2)

3) A² - (A + B)–(А – 3В),

Вариант №21 1) 2)

3)

Вариант№22

Вариант №23 1) 2)

3) А(A - B) + 2В(A + В),

Вариант№24 1) 2)

Вариант№25

Вариант №26

Вариант №27

Вариант №28

Вариант№29

Вариант №30

 

Рекомендации к выполнению лабораторной работы.

Предварительно вспомним некоторые сведения из курса высшей математики, необходимые для выполнения данной лабораторной работы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Пусть задана СЛАУ следующего вида:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX=b, где

– матрица коэффициентов системы уравнений;

– вектор неизвестных, – вектор правых частей.

При выполнении лабораторной работы систему линейных алгебраических уравнений необходимо будет решать методом обратной матрицы и методом Крамера. Вспомним основные формулы, используемые в этих методах.

Метод обратной матрицы.

Систему линейных алгебраических уравнений Ax=b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:

A^-1.A^.x=A^-1.b, E^.x=A^-1.b, (E – единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле x=A^-1.b.

Метод Крамера.

В этом случае неизвестные x₁,x₂,…, x_n вычисляются по формуле:

где D – определитель матрицы A, D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

 

Рассмотрим несколько примеров. Обратите внимание на особенность работы с матричными функциями в Ms Excel: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Пример 1. Решить систему методом обратной матрицы:

Идея решение СЛАУ методом обратной матрицы заключается в следующем. Заданную систему записывают в матричной форме Ax=b, где A – матрица коэффициентов СЛАУ при неизвестных, b – вектор правых частей, x – вектор неизвестных, который вычисляют по формуле x=A^-1.b, причем A^-1. – это матрица обратная к A. Реализовать эту идею в MS Excel можно следующим образом. Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (Рис. 11). Пусть матрица А находится в ячейках B1:D3, а вектор b в диапазоне F1:F3. Выделим ячейки для хранения обратной матрицы, пусть это будут ячейки B5:D7.

Рис. 11. Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Обратимся к Мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы. В качестве аргумента этой функции укажем диапазон ячеек, в котором хранится матрица A, т.е. МОБР(B1:D3) [34]. Теперь умножим полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например F5:F7. Обратимся к Мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. У этой функции два аргумента – диапазоны перемножаемых матриц. Введем в качестве первого аргумента диапазон ячеек, в котором содержится обратная матрица, а в качестве второго – ячейки, содержащие вектор b, т.е. МУМНОЖ (B5:D7;F1:F3). Вектор неизвестных хранится в ячейках F5:F7. Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x иполучить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(B1:D3; F5:F7).

Пример 2. Решить систему из примера 2 методом Крамера.

В этом случае неизвестные x₁,x₂,…, x_n вычисляются по формуле:

где D – определитель матрицы A, D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Введём матрицу А и вектор b в рабочий лист. Сформируем три вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на вектор b ( Рис. 12). Вычислим определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку B5 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную длявычисления определителя матрицы. В качестве аргумента зададим диапазон ячеек, в котором хранится матрица A:

МОПРЕД(B1:D5).

Рис. 12. Решение СЛАУ по формулам Крамера

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

B6=МОПРЕД(H1:J3), B7=МОПРЕД(L1:N3), B8=МОПРЕД(P1:R3).

В результате в ячейке B5 хранится главный определитель, а в ячейках B6: B8 – вспомогательные. Проведем вычисление по формулам Крамера. В ячейку Е6 введём формулу = Е6/$B$5. Затем скопируем её содержимое в ячейки Е7 и Е8. Система решена.

Пример 3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A²+2AB, где

Решение задачи показано на Рис. 13.

Рис. 13. Матричные операции

Лабораторная работа №4