Устойчивость. Критерий Гурвица.

Практическая пригодность систем регулирования определяется их устойчивостью и приемлемым качеством регулирования. Под устойчивостью понимают способность системы возвращаться в исходное состояние при прекращении возмущающего воздействия. Система может быть устойчива при воздействиях любой величины (устойчивость в большом) или при некоторых ограниченных воздействиях (устойчивость в малом).

Анализ системы на устойчивость основан на решении однородного дифференциального уравнения, описывающего свободное движение:

Условием устойчивости является:

Если корни характеристического уравнения вещественные и разные, то выходная величина будет монотонно изменяться, а характер изменения каждой составляющей будет определяться знаком соответствующего корня.

Если p _i = 0, то i –я составляющая принимает постоянное во времени состояние. При p _i > 0 соответствующая ему составляющая будет с течением времени увеличиваться до бесконечности. Следовательно, система будет устойчива только в том случае, если все корни характеристического уравнения меньше нуля.

Если корни характеристического уравнения сопряженные комплексные (p _i = α _i ± j ω _i), то составляющие переходного процесса будут иметь колебательный характер:

где А _i и φ _i – постоянные интегрирования.

В этом случае система будет устойчива, если все вещественные части корней (α _i) будут отрицательными, а амплитуда колебаний будет стремиться со временем к нулю.

Корни характеристического уравнения легко определяются, если его степень не выше второй. Решение уравнений более высоких порядков связано с большими трудностями и выполняется с использованием численных методов. Поэтому были разработаны методы, позволяющие исследовать системы на устойчивость с помощью специальных критериев, не вычисляя при этом корней характеристического уравнения. Одним из таких критериев является алгебраический критерий Гурвица, который формулирует условие устойчивости в виде определителей.

Для этого из коэффициентов характеристического уравнения составляют определитель.

По главной диагонали выписывают последовательно все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а ₁. Затем заполняют столбцы коэффициентами: вверх от главной диагонали – по возрастанию индексов до а _n, вниз – по убыванию до а 0. Оставшиеся пустыми места заполняют нулями. Затем из матрицы выделяют диагональные определители, удаляя последовательно равное количество строк и столбцов.

По алгебраическому критерию система n –порядка устойчива, если a ₁, а также все диагональные определители больше нуля.

Критерий Гурвица позволяет только установить факт устойчивости, и по полученным значениям невозможно определить, насколько близко к границе устойчивости находится система.