ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука

; ; <<

мало,

(1)

(2)

(1.1.)

(1.2.)

(1.1.)-

 

ГЛАВА 2. Теория мелкой воды

L

 

;

1. w- мало!

 

= 0

На поверхности ; ;

(u,v)=(u₁,u₂); (x,y)= (x₁,x₂);

§1. Граничное условие на поверхности:

§2. Граничное условие на дне:

В этом приближении от z не зависит

 

ГЛАВА 3. Одномерный случай, дно ровное

 

 

;

 

Система близка к системе для сжимаемой жидкости

;

Идеальный газ

;

 

В дифференциальной форме записей уравнений теория мелкой воды совпадает с газовой динамикой с показателем

адиабаты

Покажем, что при определенных условиях ускорением

в сравнении с g можно пренебречь

 

Рассмотрим движение в открытом канале в плоскости (x,z)

; ; ;

где

 

ГЛАВА 4. Одномерная газовая динамика

Метод годографа

Используя теорию мелкой воды, где

От переменных a и u перейдем к переменным х,t

Преобразование Годографа

; ;

; ; ;

n=1

волновое уравнение для сферически симметричного случая

В линеаризованномприближении

общее решение

1.

ГЛАВА 5. Задача о движущемся поршне

Нелинейные плоские волны

Уравнение для одномерного течения, массовыми силами пренебрегаем.

;

Полная система характеристических уравнений:

Для изэнтропического течения S=const

;

на С₊:

на С_-:

Для политропного газа

на

Простые волны

на (2.1.)

 

 

 

 

 

 

Рис. 1‑1 Характеристики при движении поршня

 

Рис. 1‑2

Для С₀⁺, u=0, a=a₀

 

Для С⁺, начинающихся на поршне

на но

С^- или (2.3.)

В силу (2.3.) U=const на каждой С⁺

на (2.4.)

Характеристики, начинающиеся на поршне – прямые

§3. Граничные условия:

Скорость газа = скорость поршня

Если движение поршня x=X(t), то граничное условие имеет вид

при (2.5)

 

Рис. 1‑3

Из (2.4.) уравнение характеристик, начинающихся на поршне

(2.6.)

на них ; S=S₀

C⁺ - не должны пересекаться!

Рис. 1‑4

ГЛАВА 6. Поршень внезапно выдергивается со скоростью –V

 

 

Рис. 1‑5

 

 

Для С⁺, начинающихся на оси - покой

Для С ⁺, начинающихся на поршне

Для С ⁺, начинающихся в т. x=0, t=0 – веер характеристик

Из (2.4.) ;

на каждой характеристике

Кроме того

- справедливо везде, следует из С ^- с оси х

 

 

 

Рис. 1‑6

 

 

1. – покой,

1. – веер характеристик – переходная область

;

1. область постоянного движения (однородная область)

 

 

Рис. 1‑7

Когда поршень выдергивается со скоростью большей скорости звука, поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум.

t

Характеристика С^- не касается характеристики поршня, тогда

 

 

Рис. 1‑8

 

ГЛАВА 7. Задача о разрушении плотины в теории мелкой воды:

 

 

Рис. 1‑9

Начальные условия

при

Для каждой С⁺, выходящей из области инвариант Римана имеет величину

Для С^-

 

 

 

u>0

Рис. 1‑10 Форма волны после разрушения плотины

Задача 25. 26 Написать уравнение неразрывности, уравнение движения и уравнение притока тепла для адиабатического движения идеальной сжимаемой жидкости с плоскими волнами.

· Имеют ли уравнения характеристическую форму?

· Получить, составляя линейные комбинации, систему уравнений в характеристической форме, эквивалентную исходной.

· Пусть движение баротропно, а массовые силы несущественны. Найти величины, которые постоянны вдоль характеристик.

Решение

имеет характеристическую форму, если

т.е. ; для скорости характеристик

, где

, где

 

вдоль характеристик

вдоль характеристик

 

В плоской звуковой волне распространяющейся вдоль оси х все величины зависят от x и t

Уравнение непрерывности ;

Уравнение движения ;

 

; (1)

; (2)

из (1)

из (2) (3)

; ;

(4)

вдоль характеристик

вдоль характеристик

Из (3) и (4) ;

(5)

(6)

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х;. для нее и = v + а.

Мы видели, что du/dr > 0. Таким образом, скорость распространения заданной точки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством а_о скорость звука для плотности, равновесной плотности , то в местах сжатия - , , в местах разряжения ,

 

Рис. 1‑11 Скорость перемещения профиля

Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем: точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разрежения оказываются отставшими (

 

 

Рис. 1‑11, б). В конце концов профиль волны может настолько выгнуться, что

 

 

Рис. 1‑11 в)) кривая становится неоднозначной (при заданном t) х соответствует три различных значения . Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности возникают разрывы, в результате чего оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией.

После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места.