Координаты вектора. Векторные

пространства V₁, V₂, V₃

 

Обозначим множество всех векторов V₃. Выберем ненулевой вектор и рассмотрим все векторы коллинеарные с . Обозначим полученное множество векторов V₁. Выберем в пространстве V₃ два неколлинеарных вектора ₁ и ₂ и рассмотрим все векторы пространства компланарные с ₁ и ₂. Обозначим полученное множество векторов V₂.

Из построения следует, что в пространстве V₃ существует множество подпространств V₁ и V₂.

Рассмотрим пространство V_1. Назовем базисом пространства V₁ ненулевой вектор этого пространства. Обозначим его . Рассмотрим произвольный вектор Î V₁. Докажем, что всегда существует единственное число х, такое, что = х .

Теорема 1. Пусть дано пространство V₁ и ненулевой вектор Î V₁. Тогда для любого вектора Î V₁ существует единственное число х, такое, что = х .

Доказательство. Действительно, если = , то х = 0. Если ¹ , то полагаем х = , если ­­ и х = - , если ­¯ . Покажем, что рассматриваемое равенство верно, то есть = , если ­­ и = - , если ­¯ . Действительно,

|± | = | | = | | и | | =| |.

Равенство длин рассматриваемых векторов доказано. Сонаправленность этих векторов очевидна. Следовательно, существование числа х доказано.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х и = х₁ . Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х – х₁) = .

Если выражение в скобке не равно нулю, то получим = , что противоречит условию. Следовательно, х = х₁.

Теорема доказана.

Число х называем координатой вектора в базисе { } и обозначаем (х).

Следствие. Любые два коллинеарных вектора образуют линейно зависимую систему векторов.

Рассмотрим пространство V_2. Назовем базисом пространства V₂ пару неколлинеарных векторов этого пространства. Обозначим его ₁, ₂ . Рассмотрим произвольный вектор Î V₂. Докажем, что всегда существуют единственная пара чисел х, у такая, что = х ₁ + у ₂.

Теорема 2. Пусть дано пространство V₂ и базис ₁, ₂. Тогда для любого вектора Î V₂ существует единственная пара чисел х, у такая, что = х ₁ + у ₂.

Доказательство. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = ₁, = ₂ и = . При этом полученные точки О, А, В и М лежат в одной плоскости. Построим параллелограмм с диагональю ОМ и смежными сторонами, лежащими на прямых ОА и ОВ. Обозначим построенный параллелограмм ОА′МВ¢.

При этом имеем:

¢ + ¢= , ¢= х ₁, ¢ = у ₂ (теорема 1) и, соответственно,

= х ₁ + у ₂.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х ₁ + у ₂ и = х_{1 1} + у_{1 2}. Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х – х₁) ₁ +(у – у₁) ₂ = .

Если хотя бы одно выражение в скобках не равно нулю, например, у – у₁ ¹ 0, то получим

₂ = - .

Получили, что векторы ₁ и ₂ - коллинеарные, что противоречит условию. Следовательно, х = х₁, у = у₁. Теорема доказана..

Числа х, у называем координатами вектора в базисе { ₁, ₂} и обозначаем (х, у).

Следствие. Любая тройка компланарных векторов образует линейно зависимую систему векторов и наоборот.

Рассмотрим пространство V_3. Назовем базисом пространства V₃ тройку некомпланарных векторов этого пространства. Обозначим ее ₁, ₂, ₃ . Рассмотрим произвольный вектор Î V₃. Докажем, что всегда существуют единственная тройка чисел х, у, z такая, что = х ₁ + у ₂ +z ₃.

Теорема 3. Пусть дано пространство V₃ и базис ₁, ₂, ₃. Тогда для любого вектора Î V₃ существует единственная тройка чисел х, у, z такая, что = х ₁ + у ₂ +z ₃.

Доказательство. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = ₁, = ₂, = ₃ и = . Построим параллелепипед с диагональю ОМ₁ и смежными сторонами, лежащими на прямых ОЕ₁, ОЕ₂ и ОЕ₃. Обозначим построенный параллелепипед ОАМВО₁А₁М₁В₁. При этом имеем:

 

+ + = , = х ₁, = у ₂, = z ₃ (теорема 1) и, соответственно,

= х ₁ + у ₂ +z ₃.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х ₁ + у ₂ +z ₃ и = х_{1 1} + у_{1 2} +z_{1 3}. Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х – х₁) ₁ +(у – у₁) ₂ + (z - z₁) ₃ = .

Если хотя бы одно выражение в скобках не равно нулю, например, у – у₁ ¹ 0, то получим

₂ = - -

Получили, что векторы ₁, ₂ и ₃ - линейно зависимы, а, следовательно, компланарные, что противоречит условию.

Поэтому, х = х₁, у = у₁ = z – z₁, Теорема доказана.

Числа х, у, z называем координатами вектора в базисе { ₁, ₂, ₃ } и обозначаем (х, у, z).