Задачи на формулу полной вероятности.

3.1. В ИУ поступает в среднем 50% осужденных по статье N, 30% – по статье M, 20% – по статье К. Вероятность того, что осужденный, отбывающий наказание по статье N, встанет на путь исправления, равна 0,7, для статей М и К эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что осужденный, отбывающий наказание в этом ИУ, встанет на путь исправления.

3.2. В эксперименте используются карточки белого и зеленого цветов, на которых изображены геометрические фигуры: квадрат или треугольник. Вероятность того, что на зеленой карточке изображен треугольник, равна 0,85, для белой карточки эта вероятность равна 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятая карточка будет содержать треугольник, если в эксперименте используется одинаковое количество карточек.

3.3. На избирательную комиссию поступило 1000 бюллетеней с участка № 1, 2000 с участка № 2 и 3000 с участка № 3. Среди бюллетеней с участка № 1 в среднем 70 % действительных, с участка № 2 – 80 %, с участка № 3 – 90 %. Найти вероятность того, что наугад взятый бюллетень окажется действительным.

3.4. На склад поступило 1500 изделий с первой фабрики и 2000 изделий со второй. Известно, что средний процент нестандартных изделий среди продукции первой фабрики равен 3%, второй – 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.

3.5. В цехе работают три автомата, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого автомата равна 0,01, для второго – 0,02, для третьего – 0,015. Обработанные детали поступают в один накопитель. Производительность первого автомата в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу из накопителя деталь будет бракованной.

3.6. На избирательную комиссию поступило 1800 бюллетеней с участка № 1 и 1200 бюллетеней с участка № 2. Среди бюллетеней, поступивших с участка № 1 в среднем 95% действительных, а среди бюллетеней поступивших с участка № 2 – 80%. Найти вероятность того, что первый выбранный наугад бюллетень окажется недействительным.

3.7. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

3.8. На склад поступило две партии изделий: первая – 1000 штук, вторая – 2000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 3 %, во второй – 4 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

3.9. В пирамиде 10 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

3.10. На склад поступило две партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 3000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 4 %, во второй – 6 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.

Задачи на формулу Бейеса.

4.1. В пирамиде 10 винтовок, из которых четыре снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень наудачу взятой винтовки. Найти вероятность того, что выстрел произведен из винтовки с оптическим прицелом.

4.2. Группа курсантов из 25 человек, уезжающих на спецзадание, пришла сдавать экзамен по математике досрочно. Пятеро из них подготовились отлично, семеро – хорошо, десять – удовлетворительно, а трое совсем не подготовились, понадеялись, что сдадут на авось. В билетах 50 вопросов. Отлично подготовившиеся курсанты могут ответить на все 50 вопросов, хорошо – на 40, удовлетворительно – на 30 и не подготовившиеся – на 10 вопросов. Сдающий экзамен курсант ответил правильно на все три вопроса билета. Найти вероятность того, что он отлично подготовился к экзамену.

4.3. Два курсанта одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания первым курсантом равна 0,2, а вторым – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Найти вероятность того, что промахнулся первый курсант.

4.4. На склад поступило две партии изделий: первая – 1000 штук, вторая – 3000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 5%, во второй – 6%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно из первой партии.

4.5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин как 2:5. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

4.6. В специализированную больницу поступает с среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием L, 20% — с заболеванием М. Вероятность полного излечения от болезни К равна 0,7; для болезни L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдает заболеванием К.

4.7. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин 60%. Вероятность того, что проезжающая машина пойдет на заправку для грузовых машин, равна 0,1, а для легковых – 0,2. К бензоколонке подъехала на заправку машина. Найти вероятность того, что эта машина будет грузовая.

4.8. У сборщика имеются 80 деталей, из которых 36 изготовлены в первом цехе, 24 – во втором и 20 – в третьем. Вероятность того, что деталь, изготовленная в первом цехе, стандартна, равна 0,8; для второго цеха – 0,6; для третьего цеха – 0,8. Наудачу взятая деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она взята из первого цеха.

4.9. В первом ящике имеются 8 белых и 2 черных шаров; во втором – 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – черный. Найти вероятность того, что шар выбран из второго ящика.

4.10. У рыбака есть три излюбленных места для рыбалки. Одно из них расположено близко от дома и он посещает его с вероятностью 0,6, но рыба клюет там плохо – при каждом забрасывании удочки с вероятностью 0,1. До двух других мест добираться труднее и рыбак выбирает их с вероятностью 0,2 каждое. Однако там хороший клев: во втором месте – с вероятностью 0,8, а в третьем – 0,6. Выбрав место, рыбак забросил удочку и поймал рыбу. Найти вероятность того, что он был на третьем месте.