Одномерные случайные величины

Пусть имеется вероятностное пространство (W, Å, P (×)) Определим на W числовую функцию X = X (w): каждому элементарному событию w приведено в соответствие вещественное число X (w).Такая функция называется случайной величиной. Мы ставим опыт, получаем элементарное событие w, смотрим, какое число X (w)= x было приведено ему в соответствие, и говорим: в опыте случайная величина X приняла значение x.

Рассмотрим простейший случай: число возможных значений случайной величины X конечно или счётно: x ₁, ¼, x_k, ¼ Такую случайную величину называют дискретной. Законом распределения дискретной случайной величины называют совокупность вероятностей её возможных значений:  p_k = P { X = x_k }. Будем предполагать, что события { X = x_k } содержатся в поле событий Å, и тем самым вероятности p_k определены.

Очевидно, одно и только одно из своих значений случайная величина обязательно примет. Поэтому выполняется равенство

p_k =1,

называемое иногда условием нормировки в дискретном случае.

Задать случайную величину значит задать закон её распределения: т. е. указать её возможные значения и распределение вероятностей между ними.

В общем случае общепринятый способ задания случайной величины даёт так называемая функция распределения:

F (x)= P { X < x }.

Она указывает, какая вероятность досталась не отдельным точкам, а полуоси левее точки x, не включая саму точку x. Приходится дополнительно предполагать, что событие { X < x }ÎÅ, в противном случае функция распределения была бы не определена.

Дискретную случайную величину можно задавать её функцией распределения. Нетрудно сообразить, что это будет ступенчатая функция с разрывами в точках x_k и скачками p_k в этих точках:

F (x)= P { X < x }= P { X = x_k }= p_k,

где суммирование ведётся по всем тем возможным значениям X, которые оказались меньше x.

Если существует такая функция p (x), которая позволяет представить функ­цию распределения интегралом:

F (x)= p (x) dx,

то случайная величина X называется непрерывной, а p (x) – плотностью вероятности случайной величины X.

Функция распределения F (x) непрерывной случайной величины является непрерывной функцией (отсюда и название случайной величины), и, более того, – дифференцируемой функцией: F ^¢(x)= p (x).

В более общем случае случайная величина X может принадлежать к смешанному типу: вероятность распределяется как между отдельными точками (дискретная составляющая), так и на интервалах (непрерывная составляющая). Если отдельным точкам x_k достались вероятности p_k, а остальная вероятность пошла на непрерывное распределение с линейной плотностью p (x), то:

F (x)= P { X < x }= P { X = x_k }+ p (x) dx.

Если суммарная вероятность, доставшаяся точкам x_k случайной величины X смешанного типа, равна A  ( p_k = A), а на непрерывное распределение X ухо­дит вероятность B, ( p (x) dx = B), то A + B =1.

Можно считать, что случайная величина X является смесью двух случайных величин: дискретной Y с возможными значениями x_k и вероятностями p_k и непрерывной Z с плотностью p (x). Функция распределения X имеет вид: F (x)= AF_Y (x)+ BF_Z (x).

Вообще, если имеются случайные величины X_i, i =1, 2, ¼, n  с функциямираспределения F_Xi (x), то смесью этих случайных величин называют случайную величину с функцией распределения

F (x)= A_iF_Xi (x),

где числа A_i удовлетворяют условиям: 0£ A_i £1,  A ₁+ A ₂+¼+ A_n =1, и играют роль весовых множителей, они регулируют вклад в смесь отдельных составляющих. Функция F (x), очевидно, обладает необходимыми свойствами функции распределения и может задавать случайную величину.

Основные свойства функции распределения F ( x )
и плотности вероятности p ( x )

1°. Считаем, что случайная величина X или совсем не принимает значений ±¥ или почти наверное их не принимает: P { X =+¥}= P { X =-¥}=0. При этом предположении:

F (x)= F (-¥)=0, F (x)= F (+¥)=1.

2°. F (x) – монотонно-неубывающая функция:

x ₁< x ₂ Þ  F (x ₁)£ F (x ₂).

Действительно: { X < x ₂}={ X < x ₁}+{ x ₁£ X < x ₂}. Справа стоит сумма двух несовместимых событий. Поэтому:

P { X < x ₂}= P { X < x ₁}+ P { x ₁£ X < x ₂},

или:

F (x ₂)= F (x ₁)+ P { x ₁£ X < x ₂}

и неравенство F (x ₂)³ F (x ₁) следует из неотрицательности вероятности P { x ₁£ X <
< x ₂}.

3°. В доказательстве второго свойства мы выразили через функцию распределения вероятность попадания случайной величины X в полуоткрытый интервал:

P { x ₁£ X < x ₂}= F (x ₂)- F (x ₁).

4°. Перепишем последнее равенство, взяв x ₁= x, x ₂= x +e, e>0:

P { x £ X < x +e}= F (x +e)- F (x).

Перейдём здесь к пределу при e®0:  P { X = x }= F (x +e)- F (x)= F (x +0)- F (x). Таким образом, для любой случайной величины X вероятность любого конкретного значения равна скачку  F (x +0)- F (x) её функции распределения в точке x. Во всех точках непрерывности F (x) этот скачок и, следовательно, вероятность P { X = x }, равны нулю. Для непрерывных случайных величин все точки таковы, и ни одной из них не досталось положительной вероятности.

Если мы наблюдаем непрерывную случайную величину и получили значение X = x, то мы получили пример события  A ={ X = x }, вероятность которого равна нулю, которое, однако, произошло, а событие  ={ X ¹ x }, вероятность которого рана единице, не произошло. Ясно, что повторить появление события A почти наверное не удастся.

Так как функция распределения определена равенством F (x)= P { X < x }, где под знаком вероятности стоит строгое неравенство, то вероятность, возможно сосредоточенная в точке x, не учитывается, поэтому F (x) – функция, непрерывная слева:

F (x -e)= F (x -0)= F (x).

5°. Теперь нетрудно выразить через F (x) вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал:

P { x ₁£ X £ x ₂}= F (x ₂+0)- F (x ₁),
P { x ₁< X < x ₂}= F (x ₂)- F (x ₁+0),
P { x ₁< X £ x ₂}= F (x ₂+0)- F (x ₁+0).

6°. Плотность вероятности p (x) неотрицательна. Это следует из монотонного неубывания F (x).

7°. Переходя к пределу при  x ®+¥ в равенстве  F (x)= p (x) dx, и учитывая, что  F (+¥)=1, получим условие нормировки для непрерывной случайной величины:

p (x) dx =1.

Геометрический смысл этого равенства: площадь под кривой плотности вероятности всегда равна единице.

8°. Общее правило вычисления вероятностей для дискретной и непрерывной случайной величины: если A –– некоторое числовое множество на вещественной оси, то

P { X Î A }= P { X = x_k },
P { X Î A }= p (x) dx

и ясно, что в непрерывном случае вероятность событий { X Î A } определена лишь для таких множеств A, для которых имеет смысл интеграл p (x) dx.

9°. Мы считаем, что задавая произвольную функцию F (x) с обязательными свойствами функции распределения: монотонное неубывание, непрерывность слева, F (-¥)=0, F (+¥)=1, – мы задаём некоторую случайную величину. Если F (x) – ступенчатая функция, то она задаёт дискретную случайную величину: точки скачков – её возможные значения, величины скачков – их вероятности.

Дискретную случайную величину можно задать таблицей её возможных значений и их вероятностей:  x_k, p_k, k =1, 2, ¼, n, лишь бы были " p_k ³0 и p_k =1.

Непрерывную случайную величину можно задать плотностью вероятности p (x). В качестве таковой может служить любая неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки: p (x) dx =1.

 

Основные случайные величины

Любой сходящийся интеграл от неотрицательной функции порождает непрерывное распределение. Именно, если  j(x) dx = I, то роль плотности играет

p (x)=

j(x), если x Î A,
0, если x Ï A.

Любая конечная сумма или сходящийся ряд с неотрицательными слагае­мыми порождает дискретное распределение. Именно: если q_k = S, то роль дискретных вероятностей играют p_k = q_k, а в качестве x_k можно взять любые числа; наиболее простой выбор: x_k = k.

Рассмотрим конкретные примеры.

1°. Равномерное распределение. Его порождает интеграл dx = b - a.

p (x)=

, если x Î[ a, b ],
0, если x Ï[ a, b ].

Этот закон распределения будем обозначать R (a, b); числа a и b называются параметрами распределения. Тот факт, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке [ a, b ], будем обозначать следующим образом: X ~ R (a, b).

В частности, плотность случайной величины X ~ R (0, 1) имеет наиболее простой вид:

p (x)=

1, если x Î[0, 1],
0, если x Ï[0, 1].

Функция распределения такой случайной величины равна:

F (x)=

0, если x <0,
x, если 0£ x £1,
1, если x >0.

Если мы наугад выбираем точку на отрезке [0, 1], то её абсцисса x является конкретным значением случайной величины X ~ R (0, 1). Слово ''наугад" имеет в теории вероятностей терминологическое значение и говорится с целью подчеркнуть, что соответствующая непрерывная случайная величина распределена равномерно, или дискретная случайная величина имеет конечное число N возможных равновероятных значений.

2°. Экспоненциальное распределение.

Его порождает интеграл e ^{-m x}dx = , m>0.

p (x)=

Плотность вероятности, очевидно, равна

m e ^{-m x}, если x ³0,
0, если x <0,

F (x)=

а функция распределения:

1-m e ^{-m x}, если x ³0,
0, если x <0.

То обстоятельство, что случайная величина распределена по экспоненциальному закону, будем записывать так: X ~ Exp (m), m называется параметром распределения (m>0).

3°. Распределение Коши. Его порождает интеграл dx =p.

Плотность вероятности:  p (x)= , -¥< x <+¥.

4°. Гамма-распределение. Его порождает интеграл, который определяет гамма-функцию: G(l)= e ^{- t}t ^l-1 dt, l>0. Выполним в этом интеграле замену переменной, положим:  t =m x, m>0:

G(l)=m^l e ^{-m x}x ^l-1 dx.

p (x)=

Соответствующая плотность вероятности равна:

x ^l-1 e ^{-m x}, если x >0,
0, если x £0.

Будем обозначать это распределение G(l, m), l и m – параметры распределения (l>0, m>0).

5°. Нормальное распределение. Его порождает интеграл Пуассона:

I = dx = .

Докажем это равенство. Интеграл бы легко вычислялся, если бы подынтегральное выражение содержало множитель x. Такой множитель можно ввести под знак интеграла с помощью следующего остроумного приёма.

Запишем квадрат интеграла в следующем виде:

I ²= dx × dy,

а теперь представим произведение интегралов как двойной интеграл:

I ²= dxdy.

Перейдём в этом интеграле к полярным координатам. Положим: x = r cosj, y =
= r sinj, и ещё вспомним, что абсолютная величина якобиана при переходе от декартовых координат к полярным равна r. Заметим, наконец, что областью интегрирования двойного интеграла является вся плоскость, так что границы изменения переменных r и j, соответственно, таковы: r Î[0; +¥), jÎ[0; 2p). Поэтому:

I ²= d j rdr.

Теперь легко убедиться, что rdr =1, а потому  I ²=2p.

Распределение с плотностью

p (x)= , x Î(-¥; +¥)

называется стандартным нормальным законом и обозначается N (0, 1).

Ему соответствует функция распределения:

F ₀(x)= dx.

Обычно принято табулировать интеграл

F(x)= dx,

называемый интегралом ошибок или интегралом Лапласа. Функция распределения стандартного нормального закона просто выражается через этот интеграл:

F ₀(x)= + F(x).

Если в интеграл Пуассона ввести параметры масштаба и сдвига с помощью замены переменной, заменив x на , то он примет вид:

dx =1.

Случайную величину с плотностью вероятности

p (x)= , x Î(-¥; +¥),

называют нормально распределённой случайной величиной или просто нормальной. Соответствующий ей закон распределения обозначают N (a, s), a и s – параметры распределения (s>0, a – любое вещественное число).

График p (x) представлен на рис. 1.

p (x) x a O Рис. 1.

a – точка максимума p (x), его значение равно . Так как площадь под кривой всегда равна единице, то чем меньше s, тем больше вероятности сосредоточивается вблизи максимума. Таким образом, устанавливаем вероятностный смысл параметров нормального закона: областью наиболее вероятных значений нормальной случайной величины является окрестность точки a, а s указывает на степень концентрации вероятности в окрестности точки a – чем меньше s, тем менее вероятны заметные отклонения X от a.

Функцию распределения произвольного нормального закона легко выразить через интеграл Лапласа. Для этого нужно в выражении для функции распределения

F (x)= dx

выполнить замену переменной, положив = y:

F (x)= dy = + F().

6°. Геометрическое распределение. Его порождает геометрическая прогрессия:  = q^{k -1}, 0< q <1.

Соответствующая дискретная случайная величина имеет возможные значения  x_k = k, k =1, 2, ¼ с вероятностями  p_k =(1- q) q^{k -1}. Обозначение геометрического распределения: G (q), q – параметр распределения (0< q <1).

7°. Пуассоновское распределение. Его порождает разложение в ряд показательной функции:  e ^l= , l>0, которому отвечает дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения  x_k = k, k =0, 1, 2, ¼ с вероятностями  p_k = .

Будем обозначать это распределение через P(l), l – параметр распределения (l>0).

8°. Биномиальное распределение. Его порождает формула бинома Ньютона: (p + q) ⁿ = p^mq^{n - m}.

Чтобы сумма вероятностей распределения p_k равнялась единице и все они были положительными, возьмём p >0, q >0, p + q =1, т. е. q =1- p.  Возможными значениями будем считать  x_k = k, k =0, 1, 2, ¼, n, а их вероятностями –  p_k = p^kq^{n - k}. Обозначим это распределение B (n, p), n и p – параметры распределения (0< p <1, n ÎN, т. е. n – натуральное число).

Биномиальная случайная величина появляется, например, в схеме Бернулли, называемой также схемой последовательных независимых испытаний. Состоит она в следующем: осуществляется некоторый комплекс условий, при котором мы имеем одно и только одно из двух событий: либо "успех", либо "не­удачу", причём вероятность "успеха" равна p, вероятность "неудачи" равна q =
=1- p; эта попытка независимым образом повторяется n раз. Считая опытом все n попыток, можем считать элементарным событием опыта цепочку длины n, полученных в результате опыта "успехов" (У) и "неудач" (Н): УУУННУ
Н¼У.

Определим случайную величину X, задав её как число успехов в одном опыте. Событию { X = k } благоприятствуют те элементарные события, которые содержат "успех" ровно k раз, а "неудачу" – остальные  n - k  раз. Число таких благоприятствующих событию { X = k } элементарных событий, равно, очевидно, , а вероятности всех их одинаковы и по теореме умножения для независимых событий равны p^kq^{n - k}. Окончательно получаем: P { X = k }= p^kq^{n - k}, а возможными значениями случайной величины X оказываются числа  x_k = k, k =
=0, 1, 2, ¼ n.  Таким образом, число успехов X в схеме Бернулли – биномиальная случайная величина: X ~ B (n, p).

Пусть имеется вероятностное пространство (W, Å, P (×)) и рассматривается некоторое событие A. Обозначим его вероятность P (A)= p. Пусть испытание независимым образом повторяется n раз, причём событие A в этих n последовательных попытках наблюдалось k раз. Число k называется абсолютной частотой события A. Оно является конкретным значением случайной величины X, определённой на серии из n независимых испытаний. Ничто не мешает объявить событие A "успехом", а событие – "неудачей". Это превращает последовательность из n испытаний в схему Бернулли, а абсолютная частота события A оказывается распределённой по закону Бернулли.

Геометрическое распределение также просто связано со схемой Бернулли: будем повторять попытку до появления первого "успеха". Элементарным событием в таком опыте является цепочка, у которой "успех" расположен только на последнем (k -м) месте, а на всех предыдущих местах (а их k -1) – только "не­удачи": ННННН¼НУ. Свяжем с этим опытом случайную величину X – общее число попыток в опыте. Очевидно, значениями этой случайной величины могут быть  x_k = k, k =1, 2, 3, ¼, а их вероятности  p_k = q^{k -1} p, что и совпадает с геометрическим распределением G (p).