VII. Интервальное оцениваеие

Пусть  X ~ F (x, q), причём вид функции распределения  F (x, q) известен, а параметр q неизвестен (считаем его одномерным). Требуется по выборке указать такой интервал [ , ], который с заданной вероятностью a накрывает неизвестный параметр q:

P { £q£ }=a.

Сам интервал [ , ] называется доверительным, а a – доверительной вероятностью. Концы интервала – функции от выборки:

= (x ₁, x ₂, ¼, x_n), = (x ₁, x ₂, ¼, x_n)

и являются случайными величинами. Желательно иметь a близким к единице, а интервал – поменьше. Однако увеличивая a, мы будем получать всё более широкие интервалы и тем самым всё менее информативные интервалы, всё менее интересные. Желательным свойством можно считать условие: - 0, тог­да при достаточно большом числе наблюдений можно как угодно точно локализовать параметр q.

В качестве a обычно берут числа 0,99, 0,95, 0,9. Выбор доверительной вероятности зависит от практических последствий в случае, когда доверительный интервал не накроет q. При a=0,9 следует ожидать, что в среднем мы будем промахиваться в десятой части всех применений данного доверительного интервала. Если это не страшно, то можно брать a=0,9. Если же нас в этих случаях ждут большие материальные потери или это ведёт к опасностям для человеческой жизни, то такая доверительная вероятность недопустимо мала.

Легко строить доверительный интервал для q, если мы имеем для параметра точечную оценку (x ₁, x ₂, ¼, x_n) и хотя бы приближённо знаем закон её распределения. Именно в этом случае по закону распределения , задавая a, мы можем находить такое e, чтобы

P {| -q|£e}=a.

Иногда a называют надёжностью оценки, а e – её точностью. Здесь мож­но переписать неравенство под знаком вероятности в следующем виде:

P { -e£q£ +e}=a,

и искомый доверительный интервал имеет вид [ -e, +e] и длину 2e.

Разберём несколько задач на построение доверительных интервалов.

1°. Приближённый доверительный интервал для вероятности события.

Пусть имеется событие A и для его вероятности  P (A)= p  мы хотим построить доверительный интервал, сделав n опытов. Допустим, что в этих опытах событие A наступило m раз.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

P { a £ £ b }» dy.

Возьмём  a =-e, b =e:

P {| |£e}» dy =F(e), "e>0.

Стоящее под знаком вероятности неравенство заменим равносильным:

P { m ²-2 mnp + n ² p ²£e² npq }»F(e), "e>0,

или, заменяя q на 1- p:

P { p ²(n ²+e² n)- p (2 mn +e² n)+ m ²£0}»F(e), "e>0.

Кривая  y = p ²(n ²+e² n)- p (2 mn +e² n)+ m ² как функция p является параболой.

Пусть её корни p ₁, p ₂, причём p ₁< p ₂, т. е.

P { p ₁£ p £ p ₂}»F(e), "e>0

и теперь мы можем указать процедуру построения доверительного интервала для p:

a) Задаём доверительную вероятность a.

b) По a находим e из уравнения F(e)=a; корень уравнения легко определяется с помощью таблицы функции Лапласа.

c) Решаем квадратное уравнение  p ²(n ²+e² n)- p (2 mn +e² n)+ m ²=0, находим его корни p ₁, p ₂, p ₁< p ₂.

d) Искомый приближённый доверительный интервал имеет вид: [ p ₁, p ₂].

Точность этого интервала зависит от того, достаточно ли мала ошибка при использовании теоремы Муавра-Лапласа, можно ли практически считать, что

m ~ N (np, ).

2°. Доверительный интервал для параметра a нормального закона при известном s.

Пусть X ~ N (a, s), причём s известно.

Получаем выборку (x ₁, x ₂, ¼, x_n). Среднее выборочное: ~ N (a, ). Его нормированное уклонение:

= ~ N (0, 1).

Поэтому:

P =F(e), "e>0.

Заменим неравенство под знаком вероятности равносильным, разрешив его относительно a:

P { - £ a £ + }=F(e)

и можно сформулировать процедуру построения доверительного интервала для параметра a:

a) Задаём доверительную вероятность a.

b) По a с помощью таблицы функции Лапласа находим e из уравнения F(e)=a.

c) Искомый доверительный интервал имеет вид [ - , + ],

Отметим, что длина доверительного интервала сколь угодно мала при больших n: 0.

3°. Доверительные интервалы для параметров нормального закона.

Пусть X ~ N (a, s) и оба параметра неизвестны. Воспользуемся следующей теоремой о выборочном среднем и выборочной дисперсии S ² для выборки из нормального закона:

a) ~ N (a, );

b) nS ²~c ;

c) S ² – независимые случайные величины;

d) ( - a)~ T_{n -1}.

Пункт a) этой теоремы очевиден, пункт d) следует из трёх предыдущих.

Действительно,

~ N (0, 1); ~c _{n -1}

и из независимости и S следует, что отношение  : =  рас­пределено по закону Стьюдента с (n -1) степенями свободы.

Пункты b) и c) примем без доказательства. Ограничимся только следующими замечаниями.

В выражении

=

слагаемые – квадраты случайных величин  , распределённых по нормальному закону; если бы они были независимыми, то, как мы знаем, сумма была бы распределена по закону c _n ²; однако они связаны линейной зависимостью:

=0.

Оказывается, это влияет лишь на число степеней свободы у c², понижая его на единицу. Можно вместо величин (x ₁, x ₂, ¼, x_n) ввести с помощью линейного преобразования такие новые величины, которые остаются независимыми и нормальными, причем и S ² выражаются через различные новые переменные. Это и обеспечивает независимость. К тому же S ² выражается через квадраты ровно (n -1) таких новых величин, что и приводит к c . Осуществление этой программы мы здесь опустим.

Теперь построить доверительный интервал для a уже нетрудно:

P { | - a |£e}=2 p_T^{n -1}(t) dt, "e>0,

или

P { -e S £ a £ +e S }=2 p_T^{n -1}(t) dt.

Строим доверительный интервал так:

a) Задаём a.

b) По a из таблицы распределения Стьюдента находим значение e из урав­нения  p_T^{n -1}(t) dt = .

c) Нужный интервал имеет вид: [ -e S, +e S ].

Теорема о выборочном среднем позволяет построить доверительные интервалы также для s²и s. Действительно, так как  nS ²~c , то для любых x ₁, x ₂, таких, что 0£ x ₁< x ₂<+¥:

P { x ₁£ nS ²£ x ₂}= (x) dx.

Перепишем неравенство под знаком вероятности, решив его относительно s²:

P { £s²£ }= (x) dx.

a O x 2 x 1 x (x) Рис. 7.

 

Обычно выбирают x ₁, и x ₂так, чтобы заштрихованные на рисунке площади были равны. Если мы хотим построить интервал с доверительной вероятностью a, то величина каждой из этих площадей, очевидно, равна .

Процедура построения интервала:

a) Задаём a.

b) Находим x ₁, и x ₂по таблицам c²-распределения из уравнений:

(x) dx = , (x) dx = .

c) Вычисляем  , что и решает нашу задачу.

 

Очевидно, для параметра s доверительный интервал выглядит следующим образом:

.