Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Площадь треугольника равна частному от деления произведения сторон треугольника на четыре радиуса описанной около треугольника окружности.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности:

Формулы правильного треугольника:

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности: a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

r =	a√3

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

R =	a√3

5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

S =	a2√3

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r² 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

S =	R2 3√3

8. Угол между сторонами правильного треугольника: α = 60°

Формула для вычисления площади круга

1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

 

 

круговой сектор

Круговой сектор - это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
R - радиус круга;
a⁰ или a - радиан, соответствующий центральный угол;
l - длина дуги сектора.

Формула кругового сектора

Круговой сегмент

Круговой сегмент - это часть круга, ограниченная дугой окружности и стягивающая ее хордой.
R - радиус круга;
a⁰ или a радиан - дуга сегмента (угол AOB).

Свойства сегмента

Свойство 1

 

Свойство 2

 

Свойство 3

Прямая Эйлера это:

Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек

три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.

Окружность Эйлера

В геометрии треугольника окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:

· Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

· Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

· (теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек, окружностью Теркема, окружностью двенадцати точек, включая точки Фейербаха, окружностью n-точек, полуописанной окружностью.

Треугольник, описанная вокруг него окружность (черная) и её центр (чёрный), высоты треугольника (часть высоты, расположенная внутри окружности Эйлера, синяя, а вне - её черная) и окружность девяти точек (синяя) и её центр (синий)

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Иначе говоря, окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх треугольников:

• ортотреугольник,
• дополнительный треугольник,
• треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера — Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.