Приложения двойного интеграла

1. Площадь плоской области вычисляется по формуле:

.

Если область определена неравенствами , , то

.

Если область определена неравенствами , , то

.

Если область в полярных координатах определена неравенствами , , то

.

2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу областью на плоскости , сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси Оz, вычисляется по формуле:

.

3. Площадь поверхности вычисляется по формуле:

где – проекция данной поверхности на плоскость .

4. Масса вещества (пластины ), занимающего область плоскости и имеющего плотность , вычисляется по формуле:

.

При этом статические моменты пластины относительно осей и вычисляются по формулам:

, .

Координаты центра тяжести пластины вычисляются по формулам:

, .

В случае однородной пластины координаты центра тяжести вычисляются по формулам:

, .

 

П р и м е р 11. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

Р е ш е н и е. Область изображена на рис. 23. Она является правильной в направлении оси Ох и удовлетворяет теореме 3.

 

 

у у=х+2

2

D

О4 х

 

 

 

-2

Рис. 23

Поэтому получаем:

О т в е т:

 

П р и м е р 12. Найти площадь той части конуса , которая заключена внутри цилиндра .

Р е ш е н и е. Вычислим:

Тогда площадь поверхности вычисляется с помощью двойного интеграла:

,

где областью интегрирования является круг с центром в точке (1;0) радиуса , ограниченный окружностью .

Поэтому получаем:

.

О т в е т: .

 

П р и м е р 13. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями (рис. 24).

Р е ш е н и е. В данном примере фигура однородна. Поэтому координаты центра тяжести находим по формулам:

где - площадь области .

 

у

2

 

 

 

-1 O 2 x

 

-2

Рис. 24

 

Учитывая симметрию фигуры относительно оси , вычислим:

;

 

Следовательно,

О т в е т: .

 

ПРИМЕРЫ

Вычислить повторный интеграл:

1. 2.

 

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями:

3. 4.

5. 6.

7. 8.

 

Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в одном и

другом порядке, если область ограничена линиями:

 

9. . 10.

11. . 12. .

 

Изменить порядок интегрирования в интегралах:

 

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл, если область

определена неравенствами:

21. 22.

23. 24.

25. 26.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь области,

ограниченной линиями:

 

27. 28. . 29. .

 

 

С помощью двойного интеграла вычислить объем тела,

ограниченного поверхностями:

 

30. . 31. .

32. . 33. .

 

С помощью двойного интеграла вычислить площадь поверхности:

 

34. Части сферы заключенной внутри цилиндра .

35. Части плоскости , отсеченной плоскостями , , .

36. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: .

37. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями .

ОТВЕТЫ

1. . 2. 3. . 4. 5. 6. . 7. 8.

9. 10.

11.

12. 13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25. . 26. 27.

28. 29. 30. 31. 32. 33.

34. 35. . 36. . 37. .

§ 10. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ