Решить систему методом Гаусса и найти какое-нибудь базисное решение системы.

Решение:

Расширенная матрица данной системы имеет вид

Выполним прямой ход метода Гаусса.

Умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй и третьей строке. Получим

Меняем местами вторую и третью строки матрицы. Получаем

Вторую строку умножаем на (-2) и прибавляем к третьей. Получаем

Разделим третью строку на 2. Получим

Итак, прямой ход осуществлен, в результате преобразования матрицы получим систему уравнений, эквивалентную заданной

Обратный ход позволяет последовательно определить все неизвестные системы. Так как система содержит 5 неизвестных и всего 3 уравнения, то выберем x₄, x₅ - свободными переменными, а x₁, x₂ x₃ – базисными переменными.

Из последнего уравнения находим x₃=3-x₄-x₅ и подставляем во второе уравнение для определения x₂. Получаем

Подставляем найденные x₂ и x₃ в первое уравнение и находим x₁=6+x₂-x₃+x₄-x₅ = 6+ -3+x₄ +x₅ +x₄-x₅;

x₁=3,5+2,5x₄-0,5x₅.

В результате получаем общее решение системы

.

Одно базисное решение получаем при x₄=x₅=0, т.е. x₁=3,5; x₂=0,5; x₃=3 или X₁=(3,5; 0,5; 3; 0; 0).

 

Задание 3.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10; 6; 6),B(- 2; 8; 2), C(6; 8; 9), D(7; 10; 3).

Найти:

1) Длину ребра АВ;

2) Угол между ребрами АВ и АD;

3) Уравнение прямой АВ;

4) Уравнение плоскости АВС;

5) Угол между ребром АD и гранью АВС;

6) Площадь грани АВС;

7) Объем пирамиды;

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Решение:

1) Если ребро АВ обозначить за вектор , то длина ребра - это длина вектора. Находим координаты вектора :

=(- 2-10; 8-6; 2-6)=(- 12; 2;- 4).

Если =(х; у: z), то его длина .

Следовательно,

.

2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами и . Находим координаты вектора .

=(7-10; 10-6;3-6)=(-3;4;-3).

Из пункта 1) нам известны координаты вектора =(- 12; 2;- 4). Угол между двумя векторами находится по формуле:

.

Если векторы и имеют координаты =(х₁; у₁: z₁), (х₂; у₂: z₂) соответственно, то эта формула перепишется в виде:

.

Следовательно, получаем

 

Итак, .

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂) имеет вид:

или равносильное ему уравнение:

,

где =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М₁М₂.

Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10; 6; 6) и В(- 2; 8; 2).Следовательно, уравнение прямой АВ:

.

Итак, каноническое уравнение прямой АВ:

где направляющий вектор

4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:

, (*)

где А(х₁; у₁; z₁); В (х₂; у₂; z₂); С(х₃; у₃; z₃) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу (*), получим:

 

.

Считаем определитель, разложив его по первой строке.

D=а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃,

где - алгебраические дополнения элементов , а М_{i j} – минор элемента . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из данного. Следовательно,

 

.

Итак, уравнение плоскости АВС:

.

5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле:

,

где - координаты нормального вектора плоскости АВС.

- координаты направляющего вектора прямой АD.

Находим уравнение прямой АD по двум точкам:

.

Следовательно,

АD: , .

Т.к. уравнение плоскости АВС: , то ее нормальный вектор .

Значит,

.

.

6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если треугольник построен на векторах и , то его площадь считается по формуле:

.

Из пункта 1) имеем =(- 12; 2;- 4).Находим координаты вектора .

=(6-10;8-6;9-6)=(-4;2;3).

Далее необходимо найти векторное произведение .Составляем определитель и вычисляем его, раскладывая по первой строке.

находим длину полученного вектора:

.

Следовательно,

.

7) Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Координаты этих векторов найдены ранее: , , .

Следовательно, .

8) Грань АВС имеет нормальный вектор . Для того, чтобы составить уравнение высоты, надо знать направляющий вектор той прямой, где лежит высота. Т.к. DH^ABC(DH-высота), то ( -параллелен прямой DH, а - перпендикулярен АВС). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой DHможно взять нормальный вектор плоскости АВС. Т.е. . Уравнение высоты имеет вид:

.

Итак, получили уравнение высоты DH:

.

Примерные задания к контрольной работе по разделу

«Математический анализ» (2 семестр)

Задание1.

Вывод: ;

Задание 2.

Найти y ', если функция y задана уравнением:

x³ + y³ – xy = 0

Решение.

3x² + 3y²×y’ – y – xy’ = 0

y’(3y² – x) = y – 3x²

Ответ: .

Задание 3.

Вычислить пределы:

Решение:

Задание 4.

Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D (y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

 

 

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при прямая y = 1× x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

 

Примерные задания к контрольной работе по разделу

«Теория вероятностей и математической статистики» (3 семестр)

Задание1

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение:

Событие А = {извлечены три окрашенных детали}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15, т.е.

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 10 окрашенных, т. е.

Задание 2. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. Наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины и четыре мужчины.

Решение:

Событие А= {среди отобранных ровно три женщины}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех работников, цеха, т.е. из 10 человек.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди 7 отобранных ровно 3 женщины): трёх женщин можно выбрать из четырёх способами; при этом остальные 4 человека должны быть мужчинами. Выбрать же четырех мужчин из шести мужчин можно способами.

Следовательно,

Задание 3 В ателье имеются 5 плейеров, выпущенных заводом B, 10 плейеров – заводом C, 15 плейеров – заводом D. Вероятность того, что плейеры, выпущенные заводами B, С, D, выдержат гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8, 0,85 и 0,9. Найти вероятность того, что взятый наудачу плейер выдержит гарантийный срок службы.

Решение:

Событие А = {плейер выдержит гарантийный срок службы},

Гипотеза H₁ = {плейер выпущен заводом В},

Гипотеза H₂ = {плейер выпущен заводом С},

Гипотеза H₃ = {плейер выпущен заводом D}.

=0,8; =0,85; =0,9.

По формуле полной вероятности

.

Задание 4.

В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти М(X), D(X).

Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: х₁ =0; х₂ =1; х₃ =2. Найдем вероятности возможных значений Х по формуле (см. пример 2) , (N – число деталей в партии, n – число стандартных деталей в партии, m – число отобранных деталей, k – число стандартных деталей среди отобранных), находим:

Составим искомый закон распределения:

Х
р

 

 

 

Контроль: + + =1.

Задание 5.

В устройстве независимо друг от друга выходят из строя три элемента. Вероятность выхода из строя первого элемента – 0,3, второго – 0,2, третьего – 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа вышедших из строя элементов.

Решение: случайная величина Х имеет следующие возможные значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3. р₁=0,3,q₁=1- р₁=0,7, р₂=0,2, q₂=1- р₂=0,8, р₃=0,4, q₃=1- р₃=0,6.

P(X=k) вычисляем по следующим формулам (см. пример 4) ;

;

;

.

Контроль: 0,336+0,452+0,118+0,024=1.

Х
р	0,336	0,452	0,118	0,024

Искомый закон распределения:

 

 

Примерные задания к контрольной работе по разделу

«Методы оптимальных решений» (4 семестр)

Задание 1. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в Таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Таблица

Прибыль от реализации одного изделия (руб.)

В

А

Общее количество сырья (кг)

Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие

Виды сырья

 

 

Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной. Найти решение графически.

 

Решение:

х₁ – выпуск изделий вида А

х₂ – выпуск изделий вида В

Тогда ограничения задачи:

Общая прибыль от реализации изделий вида

А и В составит:

Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию.

Для этого в неравенствах системы ограничений перейдем к равенствам и построим соответствующие прямые:

10

60

50

40

30

20

0

х2

20

10

60

50

70

40

30

х1

В

А

С

D

Рис. 1

Найдем координаты точки В – пересечения прямых:

Решив эту систему уравнений, получим:

Следовательно, если предприятие изготовит 12 изделий вида А и 18 изделий вида В, то оно получит максимальную прибыль, равную

Задание 2. Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции использует три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая себестоимость перевозок является минимальной.

Решение:

	B1	B2	B3	B4
A1
A2
A3

задача закрытого типа.

Составим первый план транспортной задачи методом северо-западного угла. Заполнение клеток таблицы начнем с новой верхней клетки.

 

	B1	B2	B3	B4
A1
A2
A3

 

 

S₁=120·7+40·8+10·5+130·9+60·3+110·6=3120

Попробуем составить первый план методом минимальной стоимости. Будем стараться заполнить клетки с минимальными тарифами

	B1	B2	B3	B4
A1			–   1	+   2
A2
A3			+   3	–   6

S₂=160·1+120·4+20·8+50·2+30·3+90·6=1530

Стоимость при таком плане перевозок почти в два раза меньше. Начнем решение задачи с этого плана. Проверим его на оптимальность. Введем потенциалы α_i – соответственно отправления, β_j – соответственно назначения. По занятым клеткам составляем систему уравнений α_i + β_j=c_ij:

Для свободных клеток таблицы проверяем критерий оптимальности

α_i + β_j≤c_ij

Будем составлять разности

плохая клетка

План не оптимальный т. к. есть плохая клетка. Построим из неё цикл пересчета. Это ломаная линия звеньев которые расположены строго по вертикали или горизонтали, а вершины находятся в занятых клетках. В плохой клетке поставим знак (+). В остальных вершинах знаки чередуются. Из отрицательных вершин выбираем наименьшее число и сдвигаем его по циклу. Перешли к новому опорному плану.

	B1	B2	B3	B4
A1			-   1	+   2
A2		+   5		-   8
A3		-   2	+   3

S₃=70·1+90·2+120·4+20·8+50·2+120·3=1350

Стоимость перевозок меньше, т.е план улучшили. Проверяем теперь новый план на оптимальность. По занятым клеткам:

По свободным клеткам:

плохая клетка

План не оптимальный т. к. есть плохая клетка. Строим цикл пересчета и переходим к новому плану.

 

	B1	B2	B3	B4
A1
A2
A3

S₄=50·1+110·2+120·4+20·5+30·2+1400·3=1330

Проверяем новый план на оптимальность.

По занятым клеткам:

По свободным клеткам:

Критерий оптимальности выполнен, т. е. последний план оптимальный.

Ответ:

S_min =1330.