Численные методы решения системы линейных уравнений

 

Постановка задачи

Дана система линейных уравнений:

Требуется решить систему уравнений, используя:

• метод Гаусса (решение в обыкновенных дробях);

• метод простой итерации (3 итерации);

• метод Зейделя (3 итерации).

 

Метод Гаусса

1. Прямой ход метода Гаусса:

Запишем систему в виде матрицы, включив коэффициенты уравнений и свободные члены:

Работаем со столбцом №1

Умножим 1-ую строку на (1/8) и добавим к 3-ей:

	-0,125	-0,625	-0,25
	-5,875	3,625	2,25
	-5,25	6,75	-1,5

Работаем со столбцом №2

Умножим 2-ую строку на (-5,875) и добавим ко 3-ой:

	-0,125	-0,625	-0,25
		-0,617	-0,383
		3,5106	-3,5106

Умножим 3-ую строку на (3,5106):

	-0,125	-0,625	-0,25
		-0,617	-0,383
			-1

 

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₁ = -0,25- (- 0,125x₂ – 0,625x₃)

x₂ = -0,383 - (- 0,617x₃)

x₃ = -1

2. Обратный ход метода Гаусса:

Из 3-ой строки выражаем x₃

 

Из 2-ой строки выражаем x₂

x₂ = -1

Из 1-ой строки выражаем x₁

x₂ = -1

Получили ответ: (-1,-1,-1).

 

Метод простой итерации

Проверим условие сходимости: Для сходимости метода необходимо и достаточно, чтобы в матрице A абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке.

Наша система имеет вид:

|8|>|-1|+|-5|-да

|-6|>|1|+|3|-да

|8|>|-2|+|-6|-да

Условие сходимости выполняется.

Выберем начальное приближение:

Для организации итерационного процесса запишем систему в приведенном виде:

Получим:

x₁=-0,25-0,125x₂-0,625x₃

x₂=-0,33-0,17x₁-0,5x₃

x₃=-0,125+0,25x₁-0,625x₂

Проведем три итерации:

1 итерация:

x₁ = -0,25

x₂ = -0,333333333

x₃ = -0,125

2 итерация:

x₁ = -0,369791667

x₂ = -0,4375

x₃ = -0,395833333

3 итерация:

x₁ = -0,552083333

x₂ = -0,592881944

x₃ = -0,490885417

Результат после выполнения трех итераций: (-0,552;-0,593;-0,491).

 

Метод Зейделя

Наша система имеет вид:

Для организации итерационного процесса запишем систему в приведенном виде:

Получим:

x₁=-0,25-0,125x₂-0,625x₃

x₂=-0,33-0,17x₁-0,5x₃

x₃=-0,125-0,25x₁-0,625x₂

Проведем три итерации:

1 итерация:

x₁ = -0,25

x₂ = -0,375

x₃ = -0,625

2 итерация:

x₁ = -0,6875

x₂ = -0,760416667

x₃ = -0,772135417

3 итерация:

x₁ = -0,827636719

x₂ = -0,857340495

x₃ = -0,867746989

Результат после выполнения трех итераций:

(-0,828;-0,857;-0,868).

 

Численные методы решения задачи аппроксимации

 

Постановка задачи

x	-3	-1
f(x)		-3		-2

Требуется:

• решить задачу интерполяции методом неопределенных коэффициентов (кусочно-линейная для каждой последовательной пары точек 1+2, 2+3, 3+4, 4+5, кусочно-параболическая интерполяция для каждой последовательной тройки точек 1+2+3, 3+4+5)

• решить задачу интерполяции с использованием полинома Лагранжа(кусочно-линейная для каждой последовательной пары точек 1+2,2+3,3+4,4+5, кусочно-параболическая интерполяция для каждой последовательной тройки точек 1+2+3, 3+4+5)

• решить задачу аппроксимации полиномом 1-й и 2-й степени методом наименьших квадратов для всех точек 1+2+3+4+5

 

Решение задачи интерполяции (полиномы первой и второй степени) методом неопределенных коэффициентов

В случае интерполяции функция проходит строго через экспериментальные точки. Для кусочно-линейной интерполяции получим две системы из условия прохождения соответствующей прямой через точки 1+ 2, 2+3, 3+4, 4+5:

Для квадратичной интерполяции с помощью метода неопределенных коэффициентов получим следующие системы.

Для точек 1+2+3:

x	-3	-1
f(x)		-3

y=5/2x+1x²-3/2

Для точек 3+4+5:

x
f(x)		-2

y=-29/2x+7/2x²-13