Прямые измерения с многократными измерениями

Правила обработки результатов измерения с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:

- обрабатывается ограниченная группа из n наблюдений;

- результаты наблюдений x_i могут содержать систематическую погрешность;

- в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;

- распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.

Обработка результатов наблюдений производится в следующей последовательности:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений (введением поправки).

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

.

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдения (СКО)

где - называется остаточной суммой.

Вычислив оценку СКО результатов наблюдений, целесообразно проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей (промахов), помня, что при нормальном законе распределения ни одна случайная погрешность х_i - , с вероятностью практически равной единице, не может выйти за пределы ±3σ. Наблюдения, содержащие грубые погрешности, исключают из группы и заново повторяют вычисления и .

4. Вычислить оценку СКО результата измерения по формуле .

5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

При числе наблюдений п < 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют, а доверительные границы случайной погрешности результата определяют лишь в том случае, если достоверно известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону.

6. Вычислить доверительные границы ε случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности Р:

где t_q — коэффициент Стьюдента (см. Таблицу 1), зависящий от n и P.

7. Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений .

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из неисключенных систематических погрешностей метода, средств измерений, погрешностей поправок и др.

При суммировании эти составляющие рассматриваются как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения неисключенных составляющих систематических погрешностей их распределения принимают за равномерные. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей границы, неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют по формуле

 

где - граница i -й неисключенной составляющей систематической погрешности; k — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 k = 1,1); т — количество не исключенных составляющих.

Доверительную вероятность для вычисления границ НСП принимают той же, что при вычислении границ случайной погрешности результата измерения.

8. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Анализ соотношения между неисключенной систематической погрешностью и случайной погрешностью показывает, что если то неисключенной систематической погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата Δ равным ± . Если то случайной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата Δ равным ± .

Если оба неравенства не выполняются, вычисляют СКО результата как сумму неисключенной систематической погрешности и случайной составляющей:

(*)

Границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляют по формуле

(**)

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле

 

(***)

 

Стандартом регламентирована и форма записи результатов измерений. При симметричном доверительном интервале погрешности результат измерения представляют в форме Х ± Δ, Р, где Х — результат измерения.

При отсутствии данных о видах функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости дальнейшей обработки результатов, результат измерения представляют в форме X, , n, .

При анализе результатов наблюдений не всегда просто определить, является ли какое либо значение ряда наблюдений грубой погрешностью. Для обнаружения такого вида промахов используют статистический критерий. Таким критерием служит соотношение

Если

то результат является промахом и отбрасывается из ряда и обработка результатов производится вновь для ряда результатов, состоящего из членов. Значения для данного и принятой вероятности берут из таблицы 2.

Оценивая точность измерения, не всегда достаточно определить числовое значение случайной погрешности (особенно при ограниченном числе измерений n). В таких случаях задача сводится и к оценке пределов (доверительного интервала ), в которых с заданной (доверительной) вероятностью Р лежат значения погрешности .

Доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины с доверительной вероятностью

где - функция Лапласа (интеграл вероятности), значения которой табулированы (табл. 3); , где - среднее квадратическое отклонение результатов (СКО).

Вероятность того, что случайная погрешность окажется за границами интервала

и называется уровнем значимости. При вместо обычно принимают - оценку среднего квадратического отклонения результатов ряда измерений.