Математические модели ламинарного и турбулентного пограничных слоев

Ламинарный пограничный слой имеет место при 1<<Re _x <Re _{x кр}. Математическая модель ламинарного стационарного двумерного пограничного слоя однородной сжимаемой жидкости включает следующие уравнения [2]:

- уравнение неразрывности

(3.1)

- уравнение движения в проекции на ось х (ось х направлена вдоль поверхности)

(3.2)

- уравнение движения в проекции на ось у (ось у совпадает с нормалью к поверхности)

(3.3)

- уравнение энергии

(3.4)

- уравнение состояния

(3.5)

Система уравнений (3.1)-(3.5) решается при следующих граничных условиях:

u = 0, v = 0, Т = Т_w y = 0

u = u _н, Т = Т _н у = ∞ (3.6)

Уравнения (3.1)–(3.4) записаны в декартовой системе координат, причем ось х направлена вдоль поверхности, а ось у – по нормали к этой поверхности. В этих уравнениях: u и v – проекции вектора скорости на оси х и у, r – плотность, Т – температура, р – давление, m – динамический коэффициент вязкости, l – коэффициент теплопроводности, R – газовая постоянная газа, обтекающего тело. Индексом н обозначены параметры невозмущенного потока, а индексом w – параметры жидкости на поверхности.

Зависимость р = р (х) или значение градиента давления ∂ р /∂ х находится из уравнения движения внешнего по отношению к пограничному слою течения

(3.7)

Уравнения (3.1)–(3.4) называются уравнениями Прандтля. Л.Прандтль получил их в результате упрощения дифференциальных уравнений Навье-Стокса, пренебрегая в этих уравнениях членами малого порядка по сравнению с оставшимися членами.

Математическая модель турбулентного пограничного слоя также как и математическая модель ламинарного пограничного слоя включает уравнения неразрывности, движения, энергии, к которым добавляются уравнение состояния и выражения для дополнительных членов уравнений, связанных с пульсациями параметров течения. Математическая модель стационарного двумерного турбулентного пограничного слоя однородной сжимаемой жидкости записывается следующим образом [2]:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Граничные условия решения системы уравнений (3.8)–(3.12) записываются также как и граничные условия (3.6) уравнений Прандтля. Градиент давления ∂ р /∂ х находится из решения уравнения (3.7). Уравнения (3.8)–(3.12) описывают осредненное по времени турбулентное течение – все члены этих уравнений осреднены по времени.

Уравнения (3.8)–(3.11) называются уравнениями Рейнольдса. В отличие от уравнений Прандтля в правых частях этих уравнений присутствуют члены и , обусловленные турбулентными пульсациями параметров жидкости в потоке. Под пульсацией какого-либо параметра жидкости понимается разность между мгновенным и осредненным по времени значением этого параметра. Величины и , представляющие собой осредненные по времени произведения соответствующих пульсационных параметров жидкости, называются моментами корреляции. Член можно рассматривать как дополнительное (кажущееся) турбулентное касательное напряжение, а член - как дополнительный тепловой поток, обусловленный пульсациями скорости и температуры жидкости [7, 10]:

, .

Для определения моментов корреляции и к настоящему времени разработано много так называемых моделей турбулентности, отличающихся различной сложностью. Одной из наиболее простых моделей турбулентности является модель пути перемешивания (смешения) Прандтля, описанная в Приложении 1. В соответствии с этой моделью

, .

Здесь l – путь перемешивания для турбулентного переноса количества движения, l_Т - путь перемешивания для турбулентного переноса тепла. Для пограничного слоя несжимаемой жидкости на поверхности можно принять l_Т = l = ky (k – эмпирическая константа, равная 0,4 [2]).

Приведенные математические модели ламинарного и турбулентного пограничных слоев позволяют рассчитать все параметры жидкости в любой точке пограничного слоя.

При решении многих прикладных задач достаточно знать напряжение трения на поверхности τ _w, толщину пограничного слоя d и еще две условные толщины – толщину вытеснения d^* и толщину потери импульса d^**, которые определяются соответственно следующими выражениями:

(3.13) (3.14)

Толщина вытеснения – величина, численно равная расстоянию, на которое отодвигается от тела линия тока внешнего течения в результате вытесняющего действия пограничного слоя.

Толщина потери импульса – величина, численно равная толщине слоя, в каждом сечении которого жидкость с параметрами невозмущенного потока проносит секундное количество движения равное количеству движения, потерянному жидкостью в пограничном слое за счет уменьшения скорости (из-за трения).

При известном поле (профиле) плотности тока (для несжимаемой жидкости - поле скорости) в поперечном сечении пограничного слоя толщину вытеснения можно найти, проведя линию, параллельную оси абсцисс так, чтобы заштрихованные площади на рис. 3.3 были равны.

Для определения напряжения на поверхности τ _w и толщин d, d^* и d^** можно использовать интегральный метод расчета пограничного слоя.