Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.

 

Потренируемся в применении алгоритма?)

Решить неравенство:

-x²+3x > 0

Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.

Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:

-x²+3x = 0

Решаем (любым способом), находим корни:

х₁= 0

х₂= 3

Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:

Здесь точки на оси белые, т.к. исходное неравенство - строгое.

Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу:

Парабола будет вверх ногами, извиняюсь, вниз ветвями.) Это потому, что в исходном выражении перед x² стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.

Пятый пункт. Определяем области "+" и "-" на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):

Смотрим на картину и записываем ответ:

х ∈ (0; 3)

 

Ещё пример.

Решить неравенство:

x² ≤ 4

Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да...) Надо выполнять первый пункт.

Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:

x²- 4 ≤ 0

Вот теперь, всё как надо. Слева - выражение, справа - ноль.

Второй пункт:

x²- 4 = 0

х₁= -2

х₂= +2

Третий пункт:

Четвёртый пункт:

Пятый пункт:

Ответ:

х ∈ [-2; 2]

Вот и все дела! Десяток-другой примеров - и проблем с квадратными неравенствами не будет. Алгоритм прост и безотказен в обращении!)

Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я писал про параболу?! Почему сразу не дал алгоритм и примеры?!

Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма... А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете... Понимание всегда побеждает механическую память.

Решаем?)

1. Решить неравенство:

8x² - 6x + 1 > 0

 

2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:

-x² + 2x ≥ -3

 

3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:

x² ≥ 16

 

4. Решить неравенство:

x² + 7x + 10 ≠ 0

 

5. Решить неравенство:

x² + 3x + 8 > 0

 

6. Решить неравенство:

x² - 4x + 4 < 0

 

7. Решить неравенство:

x² - 4x + 4 ≤ 0

 

Ответы, в беспорядке, разумеется.)

х ∈ (-∞; +∞)

х ∈ (-∞; -5) ∪ (-5; -2) ∪ (-2; +∞)

х=1

х=2

х ∈ (-∞; 0,25) ∪ (0,5; +∞)

х ∈ (-4; +4)

х ∈ Ø

 

Ну как, успешно? Поздравляю!

Примеры 2 - 4 не очень идут?) Понимаю... Это специально. В этих примерах первый источник ошибок присутствует, да...

Примеры 5 - 7 плохо решаются? Бывает. Кстати, подсказка. Если вы думаете, что в пятом примере решения нет, то ошибаетесь. Есть там решение. В этих примерах присутствует второй источник ошибок.

Вот эти два источника и дают фонтан ошибок при решении квадратных неравенств.) Что это за источники, и как просто и надёжно их перекрыть, написано в Разделе 555, если что... Там подробно расписано решение всех этих примеров с акцентом на основных проколах. Да и вообще, много чего хорошего есть.)