Аксиомы стереометрии и их следствия.

1. Запишите аксиомы стереометрии:

 

С₁: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

С₂: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

С₃:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

2. По рисунку ответе на вопросы:

Какие точки принадлежат плоскости α?_________________________________

Какие точки не принадлежат плоскости α? _________________________________

Определите взаимное расположение прямых DA и FB ____________________________________

 

3. По рисунку назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые РN, MK, DB, AB, NC;

б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CN c плоскостью ADB;

в) точки, лежащие в плоскостях АDB и DBC.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек? Объясните и проиллюстрируйте ответ.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

5. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. Сколько плоскостей в пространстве они задают? Проиллюстрируйте ответ.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. На данном рисунке плоскость α содержит точки A, B,C, D, но не содержит точку Т. Постройте точку М – точку пересечения прямой AB и плоскости TCD. Лежит ли точка М в плоскости α? ________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

7. Прямые а,b и c пересекают плоскость α в точках М, К и Р. Лежат ли прямые а,b и с в одной плоскости? Объясните ответ. ______________________________________________________________________________________________________

 

Параллельность прямых и плоскостей.

1. Закончите фразу:

Для задания плоскости в пространстве достаточно…

1) одной точки. 2) двух прямых. 3) точки и прямой. 4) прямой и не принадлежащей ей точки.

 

2. Даны две прямые, пересекающиеся в точке А. Как расположена прямая, пересекающая каждую из данных прямых и не проходящая через точку А относительно плоскости, в которой лежат две данные прямые?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Параллельными прямыми называются ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Скрещивающимися прямыми называются __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

4. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Определите длину B B₁, если АА₁ = 11 см, СС₁ = 13 см. Сделайте чертеж.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Признак параллельности прямых:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

6. Две плоскости параллельны, если _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

7. Признак параллельности плоскостей: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

8. Запишите и проиллюстрируйте свойства параллельных плоскостей

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей.

 

1. Точка K лежит вне плоскости параллелограмма AВCD. Укать пары параллельных прямых и плоскостей.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Точка K лежит вне плоскости трапеции ABCD. Доказать СD || AKB.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

.

3. Плоскость α пересекает АВ и АС треугольника АВС в точках К и М соответственно. КМ || BC, АМ: МС = 3:4. Найти ВС.

 

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. АА₁|| BB₁|| CC₁; АА₁= BB₁= CC₁. Доказать параллельность плоскостей АВС и А₁В₁С₁.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

5. ABCD – пространственный четырехугольник. DA₁: A₁A = DB₁: B₁B = DC₁: C₁C. Доказать параллельность плоскостей АВС и А₁В₁С₁.

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Плоскости α и β параллельны; а||b. Доказать: AB = A₁B₁.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Плоскости α и β параллельны; прямые a и b пересекаются в точке О. Доказать: АВ || A₁B₁.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

8. Плоскости α и β параллельны; прямые a и b скрещивающиеся. Доказать: прямые АВ и A₁B₁ скрещивающиеся.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

9. Плоскости α и β параллельны; прямые a и b пересекаются в точке О.

Найти: АВ и OB₁.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

10. Плоскости α и β параллельны; прямые a и b пересекаются в точке М.

АА₁ = 3, МВ₁ = 12. Найти: А₁В₁, МВ и ВВ₁.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________