Модель свободно-сочленной цепи

Простейшая модель изолированной макромолекулы - свободно сочленённая цепь предполагает бестелесность атомов цепи и полную свободу вращения каждого последующего звена относительно предыдущего.

Задача состоит в том, чтобы определить набор конформаций и, соответственно, размеров, которыми можно описать свободно-сочленённую цепь, состоящую из N связей длиной l. Для этого поместим один конец цепи в начало координат и, сделаем N последовательных перемещений длиной l её другого конца под произвольными углами. Тогда вероятность того, что другой конец цепи окажется в элементе объёма dV с координатами х, у, z опишется функцией Гаусса ,где , , , графическое изображение которой представлено на рис. 8б, показывающем, что вероятность нахождения другого конца цепи вблизи первого - максимальна.

а

б

Рис.8. Свободно-сочлененная цепь в трехмерном пространстве (а). Распределение Гаусса для расстояний между концами свободно-сочлененной цепи (б). N=10⁴, l =2,5Å.

Эта вероятность спадает с увеличением расстояния от начала координат. Если же определить вероятность нахождения конца цепи не в точечном объёме, а внутри шарового слоя толщиной dh и отстоящего от начала координат на расстоянии h, что больше соответствует реальной картине, то функция вероятности Гаусса умножается на объём шарового слоя 4ph²dh:

Максимум этой функции смещен в сторону h = 200 A (расчет произведен для l = 2,5А и степени полимеризации 10⁴) и соответствует dW(h)/dh = 0. Отсюда h²_max = 2/3N l ². Среднее значение ( ), соответствующее центру тяжести всей площади под кривой, смещено от h_max вправо, указывая на то, что эта функция несимметрична (рис. 9).

Рис.9. Распределение Максвелла (проекция на плоскость) для расстояний между концами свободно-сочлененной цепи (N=10⁴, l =2,5Å).

Величина квадрата среднего расстояния между концами свободно-сочлененной цепи, равна Это же выражение легко также получить, если длину и направление каждой связи в свободно-сочленённой цепи описать векторами L_i, так что вектор, направленный из одного конца цепи к другому можно представить в виде суммы слагающих цепь векторов

Определим квадрат среднего расстояния между концами цепи

различные индексы i и j в сумме употребляются для того, чтобы показать, что каждый член первой суммы следует умножить на каждый член второй суммы. После произведенного умножения получим:

Скалярное произведение двух последовательно расположенных векторов равно где Q угол между положительными направлениями этих векторов, а l _i и l _i+1 - значения длин этих векторов. Поскольку для цепи со свободным вращением угол Q в разных конформациях может принимать с равной вероятностью любые как положительные, так и отрицательные значения, то среднее значение произведения

L_iL_i+1 = l _i l _i+1^. = 0

Подобным же образом равны 0 и все другие члены суммы, в которых отличаются индексы i от j. Под знаком суммы остаются только члены

L_i^.L_i = l _i²

Таким образом, окончательно для h² для свободно-сочленённой цепи получим следующее выражение:

или

Отношение контурной длины цепи к её среднеквадратичному размеру

определяет степень скрученности свободно-сочленённой цепи. Она весьма значительна и зависит от степени полимеризации. Так при N= 100 размеры цепи составляют 0,1 от размеров вытянутой цепи, а при N = 10000 - всего 0,01, т.е. чем больше N, тем сильнее скручена полимерная цепь. Таким образом полимерная цепь, находящаяся в тепловом равновесии с окружающей средой, имеет скрученную конформацию. Следовательно, приложив к цепи растягивающую силу, её можно перевести в более развёрнутое состояние, т.е. увеличить её размеры. При этом цепь выйдет из состояния равновесия, понизится ее энтропия. После снятия нагрузки цепь самопроизвольно за счёт теплового движения вернётся к исходной свёрнутой конформации. Это свойство полимерных цепей лежит в основе механизма обратимой высокоэластической деформации каучуков.