Объекты проверки на экзамене по математике

В качестве основных объектов проверки во многих странах выделяются коммуникативные навыки (требования к владению языком предъявляются практически на любом экзамене). Разумеется, называются навыки вычислительные.

Организаторы нью-йоркского экзамена Regents видят задачу в проверке способности «применять факты и определения, преодолевать трудности [такой перевод представляется в данном случае более точным, чем “решение задач”], показывать понимание математических процедур и стратегий решения задач». Тест SAT в основном предназначен (по замыслу составителей) для проверки умения рассуждать.

Инструкция для составителей вариантов в Земле Северный Рейн-Вестфалия Германии говорит о необходимости включения в вариант заданий, проверяющих а) усвоение знаний; б) умение применять полученные знания; в) умение решать [нестандартные] задачи (тут специально разъясняется, что могут и должны быть предложены задания таких типов, которые не обсуждались на уроках.

Одна из английских экзаменационных комиссий ставила задачу проверки развития следующих умений:

– вспоминать, выбирать и использовать необходимые для различных ситуаций знания математических фактов, концепций и техники;

–строить строгие математические доказательства, используя точные утверждения, логическую дедукцию и манипуляции с различными математическими выражениями;

– оценивать математические модели, включая оценку делаемых допущений, интерпретацию и проверку результатов математического рассмотрения с точки зрения исходной проблемы.

Можно считать, что подобные задачи (по крайней мере, декларативно) ставят и составители вариантов во многих других странах.

Следует иметь в виду, что проверка знаний формул, численных значений и т.п. не считается, как правило, целесообразной ––соответствующие факты содержатся в брошюрах, которые разрешается использовать на экзаменах. Часто (Англия, США) разрешается использовать и калькулятор.

Тематика экзаменационных вариантов. Краткопроанализируем несколько работ, представляющихся нам типичными (некоторые материалы взяты из упомянутой выше статьи Досси).

Англия (A-level, чистая математика). Программа экзаменов включает основные понятия математического анализа, элементарной алгебры, аналитической геометрии, тригонометрии, комплексные числа, матричную алгебру, численные методы.

Германия. Задания посвящены дифференциальному и интегральному исчислениям, геометрическим преобразованиям, аналитической геометрии, теории вероятностей и статистике.

Израиль.Задания посвящены геометрии (на плоскости, в пространстве и аналитической), алгебре, комбинаторике, тригонометрии, элементам математического анализа.

США Задания SAT составляются так, чтобы проверять (по замыслу составителей) не знания, полученные в школе, а навыки рассуждения. Предлагаются задания, предполагающие знание элементарных сведений из арифметики и алгебры, знание фактов о площадях, периметрах, объемах и некоторых других простейших положений элементарной геометрии. Тематику заданий экзаменов Regents составители распределяют по семи темам: рассуждениям, числам, операциям, моделированию, измерению, неопределенностям (вероятностным представлениям) и закономерностям. При этом обычно затрагиваются некоторые разделы элементарной алгебры, статистики, простейшие факты геометрии и т.п.

Франция. Задания посвящены комплексным числам, преобразованиям комплексной плоскости, кривым на плоскости, коническим сечениям, элементарным функциям, пределам, производной и ее приложениям, последовательностям.

Япония. Задания посвящены теории множеств, элементарной геометрии, неравенствам, теории многочленов, элементарным функциям, векторам, элементам математического анализа, теории вероятностей.

Заметим, что во многих странах задания экзаменационных вариантов близки к предлагаемым в России на экзаменах первого курса – элементарной математике в старших классах этих стран уделяется заметно меньше внимания, чем в России. Приведем таблицу, составленную Д.Досси, которая, несмотря на определенные упрощения, присутствующие в его подходе, все же дает удобную форму для анализа. Следует иметь в виду, что составителем выделяется понятие «оцениваемого элемента», т.е. части задания или всего задания, за выполнение которого могут быть начислены баллы (как правило, у Д. Досси это просто вопрос, который составители не разделили). Далее он определяет пять наиболее важных по числу начисляемых баллов тем, а затем указывает, как в процентах распределяются экзаменационные баллы по этим пяти темам (подчеркнем, что такое возможно, поскольку в большинстве экзаменов, сразу указывается, сколько баллов следует начислять за каждое задание). Как легко видеть, таким образом, доказывается, что на долю «самых важных пяти тем» обычно приходится менее половины распределяемых баллов.

Таблица 2.