Концентрация равновесных носителей заряда в собственных невырожденных полупроводниках.

Для определенности будем рассматривать полупроводник, содержащий мелкие донорные центры одного типа.

За счет теплового возбуждения образуются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Из зонной диаграммы видно, что электроны образуются за счет переходов 1 и 2, а дырки только за счет переходов 1. В таком полупроводнике очевидно концентрация электронов будет больше, чем концентрация дырок. Найдем выражение для концентрации электронов в таком полупроводнике, используя закон действующих масс для носителей заряда и уравнение электронейтральности.

1. Закон действующих масс.

Рассмотрим произведение концентраций носителей заряда, воспользовавшись общими соотношениями:

(1)

Соотношение (1) это закон действующих масс для носителей заряда в полупроводнике. Заметим, что для данного полупроводника при данной температуре величина . Из (1) следует что, если концентрация электронов увеличивается, то концентрация дырок должна уменьшаться, если , то полупроводник будет обладать монополярной электронной проводимостью или проводимостью - типа.

С ростом концентрации электронов, увеличивается вероятность встречи зонных электронов с дырками и, следовательно, дырки чаще гибнут в результате рекомбинации, чем в случае малых значений концентрации электронов, хотя во всех случаях число переходов 1 остается одинаковым.

2. Уравнение электронейтральности.

Уравнение электронейтральности основывается на том, что в любом физически малом объеме полупроводника суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю. В полупроводнике донорного типа отрицательный заряд обеспечивается электронами зоны проводимости, а положительный дырками и положительно заряженными донорами.

Будем обозначать концентрацию положительных доноров через , тогда уравнение электронейтральности для полупроводника - типа будет иметь вид:

(2)

Функция Ферми-Дирака определяет собой распределение зонных равновесных носителей заряда. Эта функция не применима для носителей заряда находящихся на примесных центрах.

Для зонных носителей заряда справедлив принцип Паули: на каждом уровне может находиться два носителя заряда с разными спинами.

Сильное кулоновское отталкивание приводит к тому, что принцип Паули неприменим для таких носителей заряда.

Вероятность заполнения примесных состояний электронами и дырками определяется следующими соотношениями:

- вероятность заполнения электроном донорного уровня с энергией (незаряженный донор).

- вероятность заполнения дыркой акцепторного уровня с энергией (незаряженный акцептор).

- вероятность заполнения дыркой донорного уровня с энергией ,

- вероятность заполнения электронами уровня .

При очень низких температурах число тепловых переходов 1 очень мало, поэтому в уравнении (3) и величиной можно пренебречь, тогда уравнение электронейтральности примет вид:

(4)

(4) можно записать:

, (4')

, ,

,

.

При низких температурах величина и тогда:

,

(5)

Из (5) следует, что при T = 0 уровень химического потенциала в монополярном полупроводнике - типа лежит посредине между дном зоны проводимости и донорным уровнем . С ростом температуры химический потенциал поднимается вверх к уровню , затем опускается вниз пересекая уровень .

Тогда концентрация электронов в зоне проводимости определяется из выражения: и с подстановкой в него (5), учитывая, что , получим:

(6)

Таким образом, концентрация электронов в таком полупроводнике экспоненциально возрастает с ростом температуры.

Найдем степень ионизации мелких доноров в тех условиях когда, уровень химического потенциала пересекает уровень :

(7)

Подставим (7) в (6) и получим, что:

Значит, когда уровень химического потенциала пересекает уровень , доноры истощены на половину, т.е. на половину ионизированы. Аналогично можно получить выражение для концентрации дырок в полупроводнике, содержащим только мелкие акцепторные центры:

(8)