Решение систем по формулам Крамера.

 

Задача № 1. Решить по формулам Крамера систему .

Решение. Матричный метод. Обозначим

Тогда система запишется в виде AX=B. Ее решение равно Определитель матрицы А равен Алгебраические дополнения элементов матрицы А равны . Далее,

. .

По формулам Крамера имеем

.

 

Ответ. .

 

Задача № 2. (Типовая) Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Решение. Вычислим главный определитель системы .

Вспомогательные определители равны

Тогда по формулам Крамера

.

 

Задача № 3. (Типовая) Решить в случае совместности систему линейных уравнений по формулам Крамера

 

Решение. Вычислим главный определитель системы

.

Вспомогательные определители равны

, , .

Тогда по формулам Крамера

 

Задача №4. Решить в случае совместности систему линейных уравнений

Решение. Составляем матрицу систему .Определитель этой матрицы равен

.

Вспомогательные определители равны

.

.

.

 

Тогда по формулам Крамера

.

 

Ответ. .

 

Решение систем матричным методом.

Задача № 1. (Типовая) Решить систему линейных уравнений матричным методом

 

Решение. Решим исходную систему матричным методом. Составим матрицы

.

Определитель матрицы А равен . Вычислим алгебраические дополнения.

,

,

.

Обратная матрица

Решение системы .

Ответ. .

 

Исследование систем на совместность.

 

Задача № 1. (Типовая) Исследовать на совместность систему

 

Решение.

 

Получена ступенчатая матрица. Из нее следует , ранг иатрцы системы равен рангу расширенной матрицы. Система совместна.

 

Задача №2. Исследовать на совместность систему уравнений:

;

 

Решение. Здесь имеем случай, когда определитель матрицы системы

 

равен нулю.

 

Поэтому буквально правило Крамера применить нельзя. Однако если мы подсчитаем определитель :

 

, то обнаружим, что он отличен от нуля , отсюда заключаем, что система несовместна. В самом деле, при выводе правила Крамера мы переходим от данных уравнений к уравнениям

 

.

 

Отсюда: если , а из определителей хотя бы один не равен нулю, то исходная система уравнений несовместна.

 

Решение систем методом Гаусса.

Задача № 1. (Типовая) Решить систему линейных уравнений:

Решение 1. Исследование на совместность.

Следовательно, и система совместна.

2. Ищем число свободных параметров

n - r= 2-1=1 - один свободный параметр.

3. Ищем неизвестные.

Ответ: .

Задача № 2. (Типовая) Решить в случае совместности систему линейных уравнений

 

Решение. Составляем расширенную матрицу.

Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и меньше числа неизвестных, следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Найдем общее решение системы. Число свободных переменных равно 3-2=1.

Задача № 3. (Типовая) Решить в случае совместности систему линейных уравнений

 

Решение. Составляем расширенную матрицу.

.

, следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.