Элементы теории функции нескольких переменных

Элементы теории функции нескольких переменных

Примеры и определение функции нескольких переменных

Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: .

Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: .

Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат

.

Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени :

.

Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных.

Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают

.

Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:

.

Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл.

Пример. Найти и изобразить область определения функции

.

Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:

или .

Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой .

3.2. Способы задания, графическое изображение

Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных.

1. Аналитический способ.

а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, .

б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .

2) Табличный способ задания функции нескольких переменных.

Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:

	y 1	y 2	...	ym
x 1	z 11	z 12	...	z 1 m
x 2	z 21	z 22	...	z 2 m
...	...	...	...	...
xn	zn 1	zn 2	...	znm

3) Графическое изображение функции нескольких переменных.

Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом.

Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями:

и .

Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса

.

Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид .

Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня.

Элементы теории функции нескольких переменных

Примеры и определение функции нескольких переменных

Существует большое количество величин, которые зависят от нескольких других. Например, падение напряжения на резисторе U зависит от силы тока I и сопротивления R: .

Объем комнаты V зависит от длины l, ширины d и высоты h: .

Расстояние r от начала координат до точки A зависит от трех ее координат

.

Температура в каждой точке нагретого тела зависит от четырех переменных - координат точки и времени :

.

Эти и еще множество других зависимостей можно объединить понятием функции нескольких переменных.

Если каждому набору значений переменных соответствует вполне определенное значение величины y, то говорят, что y является функцией n переменных, и записывают

.

Для функций нескольких переменных могут использоваться и другие обозначения, например:

.

Областью определения функции нескольких переменных называется совокупность значений переменных, при которых функция имеет смысл.

Пример. Найти и изобразить область определения функции

.

Так как на множестве действительных чисел логарифм можно найти только от положительных чисел, то должно выполняться условие:

или .

Подстановкой значений переменных можно убедиться, что это часть плоскости, лежащая выше прямой .

3.2. Способы задания, графическое изображение

Рассмотрим способы задания функции нескольких переменных.

1. Аналитический способ.

а) Функция задана в явном виде формулой , позволяющей по значениям переменных вычислить значение функции, например, .

б) Функция задана в неявном виде соотношением , связывающим значение функции и переменные, например, ; .

2) Табличный способ задания функции нескольких переменных.

Практически этот способ удобен только для функции двух переменных:

	y 1	y 2	...	ym
x 1	z 11	z 12	...	z 1 m
x 2	z 21	z 22	...	z 2 m
...	...	...	...	...
xn	zn 1	zn 2	...	znm

3) Графическое изображение функции нескольких переменных.

Функцию одной переменной можно изобразить графически линией. Функцию двух переменных можно изобразить поверхностью. Например, на рисунке представлено изображение поверхности, задаваемой уравнением . Поверхность, заданная уравнением такого вида, называется параболоидом.

Уравнение сферы с центром в начале координат представляет собой неявную функцию двух переменных, которая может быть представлена двумя явными функциями:

и .

Линией уровня функции двух переменных называется линия, на которой функция сохраняет постоянное значение. Например, линиями уровня функции будут окружности различного радиуса

.

Поверхностью уровня функции трех переменных называется поверхность, на которой она сохраняет постоянное значение. Например для функции трех переменных поверхностями уровня будут плоскости, уравнения которых имеют вид .

Функция большего числа переменных также может принимать постоянные значения, но объект, соответствующий совокупности значений переменных, для которых функция принимает постоянное значение, представить графически нельзя. Тем не менее, по аналогии с функциями трех переменных, его называют поверхностью или гиперповерхностью уровня.