Законы распределения функций случайной величины

Если - ДСВ и , где - неслучайная функция, то также ДСВ., причем её возможные значения . Если при этом все различны (функция - строго монотонна), то . Если же среди имеются одинаковые значения, то

Если - НСВ и , где - монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая неслучайная функция, то также НСВ., причем

(4.21)

где - обратная функция к . Если же - немонотонная функция, то

(4.22)

где означает - й интервал на оси , на котором . Плотность получается дифференцированием по .

Пример. Пусть . Найти закон распределения случайной величины .

Решение.

; ; ;

.

Мы получили, что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Этот пример подтверждает известное свойство линейного преобразования гауссовских случайных величин – сохранение нормальности при линейных преобразованиях.

Задача композиции.

В одном из важных частных случаев функциональной зависимости возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент. Если, например, - НСВ с известной плотностью совместного распределения компонент и , то

(4.23)

Если ДСВ, то закон распределения ДСВ записывается в виде

где суммирование распространяется на все значения индексов и , для которых выполняется условие .

В частности, если - ДСВ с независимыми компонентами, то

(4.24)

Если - НСВ с независимыми компонентами, то формула (4.23) приводится к свертке двух плотностей:

(4.25)

Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин носит название задачи композиции. Описанные выше формулы (4.24) и (4.25) дают непосредственное решение задачи композиции. Формулу (4.25) удобно применять в тех случаях, когда плотности распределения вероятностей компонент описываются одной формулой на всей оси (что, например, справедливо для нормального закона, закона Коши и т.д.). Другой подход к решению задачи композиции основан на применении свойств характеристической функции (см. ниже). Так как , то, найдя , можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины Z.

Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и У подчиняются закону распределения данного вида, следует, что их сумма X + Y подчиняются закону распределения W того же вида.

Пример. Доказать композиционную устойчивость нормального закона.

5. Характеристические функции случайных величин. Если — комплекснозначная случайная величина, где X и Y — действительные случайные величины, то М [Z] = М [X] + i М [У].

Характеристической функцией g_x(t) случайной величины X называется комплекснозначная неслучайная функция действительного аргумента t определяемая равенством

Для НСВ характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье от плотности распределения. Поэтому плотность выражается как обратное преобразование Фурье от характеристической функции

Свойства характеристической функции

1. 
2. Если - характеристическая функция случайной величины и то

1. 
2. Если случайные величины независимы, а , то

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная неслучайная функция действительных переменных :

 

Пример. Найти числовые характеристики случайной величины , распределённой по закону Пуассона, используя характеристическую функцию.

По свойству 3 находим

Дисперсию находим по формуле

Окончательно находим

 

Литература

1. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов: Учебн. пособие для авиационных специальностей вузов/ А, А. Лебедев, В. Т. Бобронников, М. Н. Красильщиков, В. В. Малышев. – М. Машиностроение, 1985.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1999.

3. Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В., Сиротин А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

4. Сборник задач по математике для втузов. Часть 4: /Под общей ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. – М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2003.