Теоретические законы распределения отказов. Модели безотказности

Отказы предельного состояния вызывают вывод из эксплуатации объекта.

Наработка на такой отказ называется ресурсом, а предельное состояние оговаривается в технической документации.

Предельное состояние у аналогичных машин наступает через разную наработку (t) (для одной через t₁, для другой через t₂, для третьей через t₃ и т.д.).

Наработки t₁, t₂, t₃... рассматривают как случайные величины из-за сложности или невозможности их определить в аналитической форме.

Это объясняется множеством факторов, влияющих по-разному в каждом конкретном случае.

Для решения инженерных задач требуется знать среднюю наработку (средний ресурс) и как группируются частные ресурсы около среднего.

Поэтому возникает необходимость в знании закона распределения наработок на предельное состояние (распределение отказов).

Закон распределения случайных величин -это соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины / и соответствующими им:

• плотностями вероятности —f(t);

• функциями распределения - F(t);

• вероятностями (отсутствие отказов) - P(t);

• интенсивностью (отказов) -λ(t).

Каждая из этих зависимостей однозначно определяет закон распределения (см. рис. 4.2).

 

 

 

Вид закона распределения случайных наработок t до предельного состояния зависят от причин возникновения отказов. Для изучения надёжности объектов применяют разные законы распределения разработок до отказов.

Закон распределения	Плотность распределения
Нормальное
Экспоненциальное
Логарифмическое
Вейбулла

 

Например, выход из строя элементов конструкций из-за износов хорошо согласуется с так называемым нормальным законом распределения; из-за превышения предельных напряжений - экспоненциальным законом; из-за старения материала - законом Вейбулла-Гнеденко и т.д.

Каждый из законов обладает определенными свойствами, использование которых позволяет предвидеть отказы элементов, принимать заранее необходимые меры, а в целом прогнозировать возникновение отказов.

Важное значение в теории надежности объектов, имеющих механическую основу, а, следовательно, и машин, имеет нормальный закон распределения (см. рис. 4.3 ).

Кривая плотности вероятности описывается уравнением:

где t и t_ср – текущая и средняя (математическое ожидание) наработки;

е – основание натуральных логарифмов;

σ – среднее квадратичное отклонение.

 

 

Этот закон имеет следующие свойства:

1. Во-первых, абсцисса высоты Н, определяемой формулой , соответствует средней наработке t_cp, а суммы плотностей вероятностей слева и справа от t_cp равны 0,5 (34+14+2=50%).

2. Во-вторых, участок абсциссы под всей кривой с точностью до 1% равен 6 а, а каждая а, отложенная от t_cp, охватывает плотности, суммарно равные величинам, приведенным на графике.

Первоеиз приведенных свойств показывает, что до среднего ресурса и после него выходит из строя по 50% изделий. Затем чем больше среднее квадратичное отклонение, тем меньше высоты Н, поэтому тем более точной является кривая f(t) и при меньших наработках t начинают отказывать элементы конструкции.

Второе из указанных свойств приводит к тому, что t_cp>3σ, а потому коэффициент вариации .

Кроме того, зная только t_cp и σ, можно построить всю кривую. Для этого рассмотрим не плотность вероятностей f(t), а функцию распределения F(t):

Средний ресурс t_cp соответствует F(t_cp)=0,5 по первому свойству закона.

Вероятность отсутствия отказа на промежутке от 0 до t находится по соотношению:

Переместим ось ординат на точку абсциссы t=t_cp, т.е. условно примем t_cp=0 (центрирование) и положим σ=1 (нормирование). Для этого случая уравнение (2) примет вид:

Из уравнений (2) и (3) получаем:

 

Квантилем U_p нормального распределения, отвечающей вероятности Р, называют число, удовлетворяющее уравнению:

Значения квантилей приведены в таблицах. Применение квантилей позволяет по данным t_cp и а построить кривые F(t) и P(t). Для этого преобразуем соотношение (4) и учтем, что нормальный закон обладает симметрией:

Для использования выражения (5) надо задавать поочередно P_j(t), по таблице определять U_Pj и затем выявлять t_j, соответствующее P_j(t).

При экспоненциальном законе распределения плотности вероятностей определяются формулой:

Этот закон обладает следующими свойствами:

• до наступления среднего ресурса t_cp выходит из строя 63%, и после его наступления t_cp - 37% всех элементов;

• средняя наработка равна среднему квадратичному отклонению а, т.е. t_cp=a, следовательно, коэффициент вариации V=l;

• отсутствует последствие, т.е. вероятность отказа не зависит от времени предшествующей работы.

Для пояснения последнего свойства предположим, что листы рессоры машины ломаются от удара определенной силы колеса о неровности дороги. Тогда не имеет значения, произошел ли такой удар на первых или последующих часах наработки машины, результат будет один и тот же.

Однако бывает, что разрушающие усилия зависят, конечно, от старения металла рессоры, а поэтому имеет место комбинация нескольких законов распределения, например Вейбула-Гнеденко и экспоненциального.

Функция распределения отказов элементов при экспоненциальном законе распределения определяется формулой:

а вероятность того, что отказа не произойдет:

- эту формулу широко используют в теории надежности.

Рассмотрим использование распределений наработок для определения показателей безотказности (см. рис.4.4 ).

 

Вероятность безотказной работы P(t) - это вероятность того, что за данную наработку от 0 до t в данных условиях эксплуатации не произойдет ни одного отказа.

Приближенно P(t) определяют по формуле по общему числу объектов N₀, находящихся под наблюдением (выборка), числу отказавших объектов п за наработку от 0 до t, числу работоспособных объектов N(t) при наработке t:

График вероятности безотказной работы позволяет применительно к отдельно взятому элементу конструкции предвидеть и численно оценить возможность отказа на той или иной его наработке.

Применительно же к достаточно большому парку машин вероятность P(t) позволяет определить, какая доля одновременно включенных в эксплуатацию объектов не будет иметь отказы за данную наработку 0-t.

Кроме того, график вероятности безотказной работы позволяет выявить так называемый гамма-процентный ресурс, т.е. ресурс, который имеет или превышает в среднем обусловленный процент элементов.

По этому графику можно рассчитать средний ресурс.

Таким образом, вероятность безотказной работы характеризует безотказность элементов при рассмотрении ее за всю наработку с начала эксплуатации.