Степенные ряды - поиск радиуса сходимости.

Вспомним формулы из лекций: , .

Задача 5. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. Запишем коэффициенты с номерами n и n+1.

, . Тогда = = 2.

Ответ. .

Задача 6. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. , . Тогда = .

Ответ. .

Задача 7. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. , ,

= = 3.

Ответ. .

Задача 8. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. , , .

Ответ. .

Задача 9. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. , , тогда = = .

Ответ. , то есть сходимость на всей числовой оси.

Задача 11. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. , . Тогда = = = = .

Ответ. , т.е. сходимость только в точке .

Поиск суммы степенного ряда.

Задача 11. Найти сумму ряда

Решение. Если то первообразная от равна

= а это уже геометрическая прогрессия со знаменателем , её сумма равна = . После дифференцирования получим = = = . Ответ. = .

Задача 12. Найти сумму ряда .

Решение. Проинтегрируем почленно каждое слагаемое:

= =

Это геометрическая прогрессия, её сумма . Тогда = = = = .

Ответ. = .

Задача 13. Найти сумму ряда .

Решение. Эта задача решается в 2 шага. Видно, что только 2-я первообразная здесь не будет иметь коэффициентов, так, чтобы можно было использовать прогрессию.

.

Найдём = = .

Тогда = . Найдём поочерёдно 2 производных.

= = = .

= сократим на (1-x)

= = = = .

Ответ. = .

Задача 14. Найти сумму ряда .

Решение. = = = . Знакочередование приводит к тому, что в знаменателе появилась сумма, а не разность.

= = = = = . Ответ. = .

ПРАКТИКА № 20

Первые 45 минут:

Повторение и контрольная работа на 30 минут (3 задачи).

1. формула Муавра.

2. Числовые ряды.

3. Функциональные ряды.

Вторые 45 минут:

Задача 1. Найти сумму ряда .

Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от наличия коэффициента. Производная равна а первообразная . Но вот если бы степень была (n-1) то всё бы получилось. Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести за скобку, то есть за знак ряда.

= = = .

Теперь обозначим новое выражение через и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.

, где . Первообразная от это

= = = .

= = = . Вспомним про то, что мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы нашли . При этом . Тогда ответ = .

Ответ. = .

 

Задача 2. Доказать с помощью почленного дифференцирования формулу:

Решение.

но ведь это и есть геометрическая прогрессия и её сумма: .

Ряды Тейлора.

Задача 3. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .

Решение. Сначала определим круг сходимости ряда. Центр в 0, так как требуется разложить по степеням , т.е. в ряде должны быть только степенные функции типа то есть центр 0.

Ближайшая точка разрыва это . Поэтому круг радиуса 2 с центром в нуле, т.е. .

Дальше, чтобы получать в знаменателе структуру типа , есть 2 пути: вынести за скобку либо либо 2.

= = либо

= = = .

Но ведь , поэтому а , так что первый вариант использовать нельзя, ведь там получилось бы и нельзя считать по формуле сходящейся геометрической прогрессии, для которой должно быть обязательно . Поэтому выносим за скобку именно константу, а не .

Итак, = = = это и есть требуемое разложение в степенной ряд Тейлора. Его можно также записать в виде .

Ответ. .

Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .

Решение. В данном случае расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 3. Условие круга .

= = = =

Выражение по модулю меньше 1, так как . Поэтому можно рассматривать это как сумму некоторой сходящейся геометрической прогрессии. Тогда

= = .

Ответ. .

Задача 5. Найти для .

Решение. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора. Прогрессия здесь не нужна, можно воспользоваться известной формулой для синуса.

= =

Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.

. Ответ. 10.

Задача 6. Найти для .

Решение. = = Извлекаем слагаемое при степени 8 и сравниваем его с теоретическим значением.

= = = .

Ответ. = 21.