П. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является методпонижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение (1). Порядок можно понизить, введя функцию p(x), положив y’ = p(x). Тогда y’’ = p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’ = f(x). Решив его, т.е. найдя функцию p = p(x), решим уравнение y’ = p(x). Получим общее решение заданного уравнения (1).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как , уравнение (1) можно записать в виде . Тогда, интегрируя уравнение , получаем: или . Далее, интегрируя полученное уравнение по x, находим: , т.е. – общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение , то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения: .

Пример. Решить уравнение

Решение: последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим:

2. Пусть дано уравнение (2), не содержащее явно искомой функции y.

Обозначим y’=p, где p = p(x) – новая неизвестная функция. Тогда y’’ = p’ и уравнение (2) принимает вид p’ = f(x; p). Пусть p = φ(x; c₁) – общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию p на y’, получаем ДУ: y’ = φ(x; c₁). Оно имеет вид (1). Для отыскания y достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (2) будет иметь вид .

Частным случаем уравнения (2) является уравнение (3), не содержащее также независимую переменную x. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), . Получаем уравнение p’ = f(p) с разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида (4), которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y^(k) = p(x). Тогда y^(k+1) = p’; …; y⁽ⁿ⁾ = p^{(n – k)} и уравнение (4) примет вид .

Частным случаем уравнения (4) является уравнение или . С помощью замены y^{(n – 1)} = p(x), y⁽ⁿ⁾ = p’ это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример. Решить уравнение .

Решение: полагаем y’ = p, где p = p(x), y’’ = p’

Тогда . Это уравнение с разделяющимися переменными: , . Интегрируя, получим , , . Возвращаясь к исходной переменной, получим , – общее решение уравнения.

3. рассмотрим уравнение (5), которое не содержит явно независимой переменной x.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию p = p(y), зависящую от переменной y, полагая y’ = p. Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что p = p(y(x)): , т.е. . Теперь уравнение (5) запишется в виде . Пусть p = φ(y; c₁) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию p(y) на y’, получаем y’ = φ(y; c₁) – ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнение (5): .

Частным решением уравнения (5) является ДУ . Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’ = p, .

Так же поступаем при решении уравнения . Его порядок можно понизить на единицу, положив y’ = p, где p = p(y). По правилу дифференцирования сложной функции находим . Затем найдем и т.д.

Замечание: уравнение (3) также можно решать, применяя подстановку y’ = p, где p = p(y).