Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Решение матричной игры можно свести к решению стандартной задачи линейного программирования.

Рассмотрим игру с m х n -матрицей выигрышей Н.

Теорема 17.9. Тройка (X*, Y*, v) является решением игры Г = <S_m, S_n, Н> тогда и только тогда, когда (X*, Y*, kv + а) является решением игры Г' = <S_m, S_n, kH + a>, где а — любое вещественное число, k>0.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из того, что неравенства

и

эквивалентны.

В силу теоремы 17.9 всегда можно добиться того, чтобы было v>0 (в противном случае следует прибавить ко всем элементам матрицы выигрышей достаточно большую константу, что, по теореме 17.9, не меняет множества оптимальных стратегий игроков). Поэтому, не нарушая общности, будем считать, что все элементы матрицы Н положительны.

Любую матричную игру можно свести к задаче линейного программирования, вернее, к паре двойственных друг другу задач линейного программирования. Благодаря этому становится возможным применение симплекс-метода для решения матричных игр.

Пусть — произвольная стратегия игрока I в игре Н. Положим . Из положительности элементов H следует, что v(X)>0. Мы имеем

(17.34)

и равенство v(X)=v(H) является необходимым и достаточным условием оптимальности стратегии X. Следовательно, оптимальность стратегии X равносильна тому, что

. (17.35)

Так как v(X) > 0, обе части неравенства (17.34) разделим на v(X) и введем новую переменную . В результате получим

. (17.36)

То, что X — стратегия, означает

, (17.37)

где .

Из соотношений (17.35) и (17.37) следует, что стратегия X будет оптимальной тогда и только тогда, когда

.

В результате задачу определения оптимальной стратегии игрока I мы можем сформулировать так:

при условиях

Рассуждая аналогично, задачу нахождения оптимальной стратегии игрока II можно записать в следующем виде:

при условиях

Решив эти задачи, найдем х*, у * и v из соотношений

Пример. Решить игру

.

Чтобы гарантировать v > 0, прибавим ко всем элементам матрицы Н константу +1. Тогда получим матрицу

.

Пара двойственных задач линейного программирования будет в данном случае выглядеть следующим образом:

Минимизировать при условиях

Максимизировать при условиях

Из этих двух задач симплексным методом удобнее решать вторую, одновременно получая из индексной строки решение первой.

Номер итерации	Базисные переменные
	y5									1/7
y6									1/6
y7
L		-1	-1	-1	-1
I		1/7	6/7		4/7	1/7	1/7
y6	1/7	41/7		67/7	71/7	-6/7			1/71
y7	6/7	71/7		38/7	146/7	-1/7			3/73
L	1/7	-1/7		-3/7	-6/7	1/7
II		10/71
	1/71	41/71		67/71		-6/71	7/71
y7	40/71
L	11/71	25/71		27/71		5/71	6/71

После второй итерации симплексного метода получим оптимальное решение

Отсюда

Таким образом, оптимальная стратегия игрока II есть

Из индексной строки против переменных у₅, у_б, у₇ получаем оптимальное решение первой задачи

откуда

и

Итак,