Свойства операций пересечение и объединения

I. Коммутативность

Для любых множеств A и B выполнены равенства

II. Ассоциативность

Для любых множеств A, B и C выполнены равенства

Следствие из ассоциативности

Ассоциативность позволяет не заботиться о скобках и даже иногда опускать их, полагая

Впрочем, пересечение и объединение сколь угодно большой (в частности, бесконечной) совокупности множеств проще определяется непосредственно.

Пусть - некоторая совокупность множеств. Пересечением множеств этой совокупности называется множество, составленное из элементов, которые принадлежат к а ж д о м у множеству, входящему в . Это множество обозначается через

Аналогично, объединением множеств совокупности называется множество, составленное из элементов, которые принадлежат х о т я б ы о д н о м у множеству, входящему в . Это множество обозначается через

Замечание.

Понятия пересечения и объединения множеств произвольной совокупности обобщают понятия пересечения и объединения двух множеств: если , то

III. Для любого множества A

,

IV. Для любых множеств A и B

V. Для любых множеств A и B

Доказательство.

Загадка. Как связаны понятия системы уравнений и пересечения множеств?

Множество решений системы уравнений есть пересечение множеств решений уравнений, составляющих эту систему.

VI. Две дистрибутивности. Для любых множеств A, B и C выполнены равенства

 

 

Подобные картинки называются диаграммами Венна или кругами Эйлера.

VII. Ещё две дистрибутивности. Обобщение дистрибутивности на случай любого числа множеств.

Пусть A - множество, а - множество, все элементы которого являются множествами. Тогда

Разные разности

Разностью множеств A и B называется совокупность тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B.

При этом, вообще говоря, не предполагается, что .

В случае, если , множество называется также дополнением множества B в множестве A.

Свойства операции разности

I. Для любых множеств A и B

II. Для любых множеств A, B и C

 

 

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

 

Свойства операции симметрической разности

I. Для любых множеств A и B выполнено равенство

II. Ассоциативность симметрической разности

Для любых множеств A, B и C выполнено равенство

III. Дистрибутивность симметрической разности

Для любых множеств A, B и C выполнено равенство

Справедливо ли равенство для любых множеств

A, B и C?

 

Формулы де Моргана

Пусть – произвольная совокупность подмножеств множества .

Тогда

Доказательство.

1 часть.

2 часть.

 

Промежутки

Пусть .

Отрезком (замкнутым промежутком) с концами при называется множество

Интервалом (открытым промежутком)с концами при называется множество

Полуоткрытыми промежутками с концами называют множества

Замечание.

Если нам безразлично включаются ли концы в промежуток (произвольный промежуток), то будем употреблять угловые скобки .

Лучами с концом будем называть следующие множества

К промежуткам также будем относить числовую прямую