Нормальные силы, обусловленные изменением скорости течения

Рассмотрим, например, вихревое движение жидкости. Уже и для такого движения вопрос о напряжении поверхностных сил в некоторой произвольно выбранной точке, например M, оказывается значительно сложнее по сравнению с ранее рассмотренным случаем. Т.к. через выбранную точку M можно провести бесчисленное множество элементарных поверхностей ΔS, различным образом ориентированных в пространстве. На каждую такую площадку ΔS будет действовать, вообще говоря, различная сила. Т.к. для характеристики напряжения поверхностной силы в точке M необходимо задать всю совокупность бесчисленного множества сил, действующих на всевозможные элементарные площадки ΔS, включающие рассматриваемую нами точку М, то задача о математическом представлении напряжения поверхностной силы в точке, с первого взгляда, кажется совершенно безнадежной.

Однако, оказывается, практически нет надобности задавать всю совокупность поверхностных сил. Ориентация любой площадки в пространстве может быть охарактеризована единичным вектором , направленным по нормали к этой площадке (т.е. единичным нормальным вектором). Нужно лишь установить соответствия между этим вектором и силой, действующей на единицу поверхности характеризуемой им площадки.

Т.е. необходимо преобразовать вектор в вектор напряжения силы на данную площадку:

(2.13)

Где коэффициент называется тензором и является величиной иного ранга чем скаляр и вектор.

Таким образом из равенства (2.13) следует, что для характеристики напряженного состояния нужно задать не бесконечную совокупность векторов, а всего один тензор .

Замечание:

1. Тензор в гидромеханике имеет не только математический смысл, но и является носителем определенной физической характеристики. Термин «Тензор» происходит от латинского слова tendo, что буквально означает «напрягаю». Он возник в теории упругости и постепенно перекочевал в другие разделы науки, пока не утвердился окончательно в математике.

2. Тензор напряжений отличается определенными физическими свойствами. Тензор напряжений является симметричным тензором и геометрически представляется в виде поверхности эллипсоида. Поэтому в литературе нередко встречаются термины эллипсоид напряжений, эллипсоид инерции и т.д.

3. Если бы напряженное состояние было однородным во все массе жидкости, то в каждой точке вектор преобразовывался бы одинаковым образом в вектор , т.е. для всех точек пространства тензор был бы одним и тем же. В общем случае меняется при переходе из одной точки в другую, а в каждой точке еще может зависеть от времени. Иными словами, справедливо равенство

,

которое приводит нас к представлению тензорного поля, подобно тому как равенство утверждает существование векторного поля.