Моделирование случайных величин

Для моделирования случайной величины необходимо знать ее закон распределения. Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольно­му закону, является способ, в основе которого лежит их формиро­вание из исходной последовательности случайных чисел, распреде­ленных в интервале [0,1] по равномерному закону.

Равномерно распределенные в интервале [0,1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

Ø использование таблиц случайных чисел;

Ø применение генераторов случайных чисел;

Ø метод псевдослучайных чисел.

При решении задачи без применения ЭВМ чаще всего исполь­зуют таблицы случайных чисел. В таблицах случайных чисел слу­чайные цифры имитируют значения дискретной случайной вели­чины с равномерным распределением:

При составлении таких таблиц выполняется требование, чтобы каждая из этих цифр от 0; 1;...; 9 встречалась примерно одинаково часто и независимо от других с вероятностью .

Самая большая из опубликованных таблиц случайных чисел содержит 1 000 000 цифр. Таблицы случайных чисел составить не так просто. Они требуют тщательной проверки с помощью специаль­ных статистических тестов.

При решении задач на ЭВМ для выработки случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1|, могут применяться генераторы случайных чисел. Данные генераторы преобразуют ре­зультаты случайного физического процесса в двоичные числа. В качестве случайного физического процесса обычно используют соб­ственные шумы (случайным образом меняющееся напряжение).

Недостатки данного способа получения случайных чисел следующие:

1. Трудно проверить качество вырабатываемых чисел.

2. Случайные числа не воспроизводимы (если их не запоминать), и, как следствие, нельзя повторить расчет на ЭВМ для исключения случайного сбоя.

Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом рас­пределения заключается в выработке псевдослучайных чисел. Псев­дослучайные числа – это числа, полученные по какой-либо форму­ле и имитирующие значения случайной величины. Под словом «имитирующие» подразумевается, что эти числа удовлетворяют ря­ду тестов так, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел пред­ложил Дж. Нейман. Это так называемый метод середины квадратов, который заключается в следующем:

и т.д.

Алгоритм себя не оправдал: получилось больше, чем нужно, малых значений γ_i – случайных чисел. В настоящее время разрабо­тано множество алгоритмов для получения псевдослучайных чисел.

Назовем достоинства метода псевдослучайных чисел.

1. На получение каждого случайного числа затрачивается не­сколько простых операций, так что скорость генерирования слу­чайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ.

2. Малый объем памяти ЭВМ для программирования.

3. Любое из чисел легко воспроизвести.

4. Качество генерируемых случайных чисел достаточно прове­рить один раз.

Подавляющее число расчетов по методу Монте-Карло осуще­ствляется с использованием псевдослучайных чисел. От последова­тельности случайных чисел, равномерно распределенных в интер­вале [0,1], нетрудно перейти к последовательности случайных чи­сел с произвольным заданным законом распределения.

Существует основное соотношение, связывающее случайные числа с заданным законом распределения и случайные числа с рав­номерным законом распределения в интервале [0,1]. Суть его со­стоит в том, что для преобразования последовательности случай­ных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] в последовательность случайных чисел с заданной функцией рас­пределения F(x) необходимо из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] выбрать случайное число , и решить уравнение:

(3.5)

относительно х.

Решение уравнения представляет собой случайное число из со­вокупности случайных чисел, имеющих функцию распределения F(x),

В случае, когда вместо функции распределения F(x) задана плот­ность вероятности f(х), соотношение (3.5) принимает вид:

(3.6)

Для ряда законов распределения, наиболее часто встречающих­ся в реальной экономике, получено аналитическое решение урав­нения (3.6), результаты которого приведены в табл. 3.1.

Закон распределения случайной величины	Плотность распределения	Формула для моделирования случайной величины
Экспоненциальный
Вейбула
Гамма-распределение (η – целые числа)
Нормальное

 

Параметры закона распределения Вейбула выбираются по табли­цам приложения.

Пример 3.1. В результате статистической обработки экспери­ментальных данных получены следующие значения характеристик случайной величины X: = 40,7 и = 30,2. Установлено, что ве­личина X распределена в соответствии с законом Вейбула.

Определите параметры данного закона.

Решение.

1. Вычислим коэффициент вариации случайной величины X:

.

2. Исходя из значения коэффициента вариации, определим по
таблицам приложения параметры а и С_а. Величины параметров при
V = 0,742 равны а = 1,4; С_а = 0,659.

3. Вычислим параметр b по формуле:

. (3.7)

Параметры гамма-распределения вычислим по следующим формулам:

; (3.8) . (3.9)

 

Пример 3.2. Время обслуживания пассажира в кассе Аэрофлота подчинено гамма-распределению. При этом известно среднее зна­чение времени обслуживания = 42 мин.; среднее квадрата чес кое отклонение времени равно 14,8 мин.

Вычислите параметры закона распределения.

Решение

1. Вычислим параметр

.

2. Величину параметра \] определим по следующей формуле:

Пример 3.3. Для ПК интенсивность потока отказов = 1,2 отк/сутки. Требуется определить последовательность значений про­должительности интервалов между отказами ПК. Известно, что эти интервалы описываются показательным законом распределения.

Решение

Определим продолжительность интервала между отказами , используя формулу для моделирования случайной величины, рас­пределенной в соответствии с экспоненциальным законом:

.

Значения определим по таблицам случайных чисел.

Допустим = 0,7182; = 0,4365; = 0,1548; = 0,8731.

Тогда

суток;

суток;

суток;

суток;