Понятие о критериях устойчивости САУ

Как было показано выше, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения замкнутой системы. Знаки корней могут быть определены путем решения характеристического уравнения замкнутой системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней затруднительно. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости, которые дают ответ об устойчивости системы без определения корней характеристического уравнения. Такие методы называются критериями устойчивости.

 

Билет 10

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

 

Преобразование Лапласа определяется соотношением

(4.3.9)

Оно применимо к функциям, удовлетворяющим условию

и не имеющих особенностей при . Преобразование Лапласа производится по переменной, определенной на полубесконечном интервале, чаще всего по времени. Установим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Преобразование Лапласа производной.

(4.3.10)

(4.3.11)

 

Изодромное интегрирующее звено

 

Динамика процесса описывается следующим уравнением:

,

здесь k и k₁ – коэффициенты усиления.

1. Переходная характеристика:

2. Импульсная переходная характеристика:

3. Передаточная функция:

4. АФХ:

5. АЧХ:

6. ФЧХ:

7. ЛАЧХ:

Структурная схема:

Примером изодромного интегрирующего звена может служить гидравлический демпфер, к поршню которого присоединена пружина.

 

Билет 11

1. Нахождение переходной функции элемента

Полагаем входной сигнал четырехполюсника равным единичному ступенчатому воздействию e = 1 (t). Тогда его выходной сигнал будет равен переходной функции u_c = h(t).

Учитывая сказанное в уравнении (2.44), приводим его к виду:

1(t). (2.45)

Вынужденную составляющую переходной функции находим из уравнения (2.45), полагая в нем производную dh(t) /dt)= 0,

h_в(t) = 1. (2.46)

Составляем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.45)

0,1p + 1 = 0. (2.47)

Корень характеристического уравнения

p = -10.

Свободную составляющую переходной функции находим по выражению (2.21) при n = 1 и p₁ =-10

(2.48)

Находим переходную функцию, суммируя ее вынужденную (2.46) и свободную (2.48) составляющие,

h (t) = h_в (t) + h_с (t) = (2.49)

Из уравнения (2.49) при нулевых начальных условиях (h(0) = 0 ) определяем коэффициент

C₁ = -1.

Подставляя значение этого коэффициента в выражение (2.49), находим искомуюпереходную функцию элемента

(2.50)

График переходной функции элемента приведен на рис. 2.15.

Рис. 2.15. График переходной функции элемента

2

На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде последовательной -цепи с постоянной времени . На входе цепи действует напряжение , а выходное напряжение может сниматься либо с сопротивления , либо с конденсатора . Определим зависимость выходного напряжения от входного для каждого из этих случаев. В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно составить уравнение

, или .

Выполним анализ данного уравнения при большом и малом значениях .

1. Постоянная времени – малая величина.

Тогда или .

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с сопротивления , будет равно . Следовательно, если выходное напряжение снимать с сопротивления, то при малых значениях постоянной времени последовательная -цепь может дифференцировать входной сигнал.

2. Постоянная времени – большая величина.

Тогда или .

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с конденсатора , будет равно . Следовательно, если выходное напряжение снимать с конденсатора, то при больших значениях постоянной времени последовательная -цепь может интегрировать входной сигнал.

Схема дифференцирующей цепи представлена на рис. 5.1,б, интегрирующей цепи – на рис. 5.1,в.

Рис. 5.1. Последовательная -цепь (а), дифференцирующая (б) и

интегрирующая (в) цепи.

5.3.1. Дифференцирующая цепь

 

Определим частотный коэффициент передачи дифференцирующей цепи. Комплексная амплитуда тока в цепи определяется законом Ома

.

Следовательно, комплексная амплитуда выходного напряжения равна

.

Отсюда:

частотный коэффициент передачи ; (5.2)

амплитудно-частотная характеристика ;

фазочастотнаяхарактеристика .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.2,а.

Как следует из графика АЧХ, дифференцирующая цепь является фильтром верхних частот. Определим частоту среза на уровне :

; ; .

Для приближения к точному дифференцированию необходимо, чтобы на всех частотах спектра входного сигнала соблюдалось неравенство .Тогда – частотная характеристика идеальной дифференцирующей цепи.

 

Рис. 5.2. АЧХ и ФЧХ дифференцирующей (а) и интегрирующей (б)

цепей

 

Билет 12

1.Структурные схемы – построенные на основе элементов, которые отличаются друг от друга передающими функциями или динамическими свойствами;

Задача свертывания – получение общей передающей функции системы за передающими функциями частей этой системы.

При свертывании используются следующие правила преобразования:

1. Замена последовательного включения звеньев на одно звено:

Рисунок 2.43 – Последовательное соединение звеньев

Рисунок 2.44 – Замена последовательного соединения

2. Если есть цепь из параллельно включенных звеньев то его можно заменить одним звеном с передающей функцией, которая равняется сумме передающих функций звеньев.

3. Если есть встречно-параллельное соединение звеньев то их также можно заменить одним звеном с передающей функцией, которая определяется по правилу встречно-параллельного соединения.

4. Сумматор (или внешнюю влияние ) можно перенести с входа звена на его выход, если включить дополнительно такую же звено с такой же передающей функцией.

 

Рисунок 2.45 – Система к преобразованию

Рисунок 2.46 – Система после преобразования по этому правилу

5. Сумматор на выходе звена (или внешнюю влияние ) можно перенести с выхода звена на его вход, если включить дополнительно такую же звено, но с передающей функцией .

Рисунок 2.47 – Схема к преобразованию

Рисунок 2.48 – Схема после преобразования

6. Узел с входа звена можно перенести на его выход дополнительно включивши звено с обратной функцией.

 

Рисунок 2.49 - Схема с узлом к преобразованию

Рисунок 2.50 - Схема с узлом после преобразования

 

7. Узел можно перенести из выхода звена на вход, но при этом нужно включить такую же звено с такой же передающей функцией.

Рисунок 2.51 - Схема к преобразованию

Рисунок 2.52 – Схема после преобразований согласно правилу 7

 

При переносе сумматора или узла обязательно появляется дополнительное звено. Нельзя переносить сумматор через узел или наоборот.

 

2. На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде последовательной -цепи с постоянной времени . На входе цепи действует напряжение , а выходное напряжение может сниматься либо с сопротивления , либо с конденсатора . Определим зависимость выходного напряжения от входного для каждого из этих случаев. В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно составить уравнение

, или .

Выполним анализ данного уравнения при большом и малом значениях .

1. Постоянная времени – малая величина.

Тогда или .

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с сопротивления , будет равно . Следовательно, если выходное напряжение снимать с сопротивления, то при малых значениях постоянной времени последовательная -цепь может дифференцировать входной сигнал.

2. Постоянная времени – большая величина.

Тогда или .

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с конденсатора , будет равно . Следовательно, если выходное напряжение снимать с конденсатора, то при больших значениях постоянной времени последовательная -цепь может интегрировать входной сигнал.

Схема дифференцирующей цепи представлена на рис. 5.1,б, интегрирующей цепи – на рис. 5.1,в.

Рис. 5.1. Последовательная -цепь (а), дифференцирующая (б) и

интегрирующая (в) цепи

5.3.2. Интегрирующая цепь

 

Определим частотный коэффициент передачи интегрирующей цепи. Если комплексная амплитуда тока в цепи равна

,

то комплексная амплитуда выходного напряжения равна

.

Отсюда:

частотный коэффициент передачи ; (5.3)

амплитудно-частотная характеристика ;

фазочастотнаяхарактеристика .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.2,б.

Как следует из графика АЧХ, интегрирующая цепь является фильтром нижних частот. Частота среза также равна .

Для приближения к точному интегрированию необходимо, чтобы на всех частотах спектра входного сигнала соблюдалось неравенство .Тогда – частотная характеристика идеальной интегрирующей цепи.

 

 

Рис. 5.2. АЧХ и ФЧХ дифференцирующей (а) и интегрирующей (б)

цепей

 

 

Билет 15

1.

Рис. 2.3. Суммирующий усилитель