Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел.

Бесконечная пластина.

- физические свойства и начальные условия.

- физические условия и координаты.

  Вернёмся к первоначальной записи :

, где

При малых временах реальное температурное поле – есть неупорядоченная стадия. Есть слои, которые ещё «не знают» об охлаждении среды.

Пусть  соответствует . Изменение температурного поля будет зависеть от физических свойств тела и от координат.

 1                                                     

 

 

  неупоряд.

  стадия

охлаждения

       Если , то работая в логарифмических координатах, получим следующее:

       (*)

где .    Угол наклона определяется

  Эта стадия охлаждения или нагревания  когда описывается одним членом ряда называется регулярным режим охлаждения, нагревания тел.

Продифференцируем функцию (*):

    Параметр равный от 1 до  называется темпом охлаждения или нагревания тела.

 

    Темп охлаждения можно определить экспериментально. Найдя и выбрав :

 

 

    В регулярном режиме темп охлаждения не зависит от координат и времени и является постоянной величиной для всех точек тела.

 

 

Теоремы Кондратьева для регулярного режима.

1) Темп охлаждения пропорционален коэффициенту теплоотдачи и обратно пропорционален полной теплоёмкости тела.

Доказательство:

    Обозначения:  -количество тепла [Дж],

- полная теплоёмкость тела.

 

 где:

 

Согласно Ньютону-Рихману за время проходит количество тепла:

если ; знак минус показывает, что тепло удаляется.

перепишем:

Домножим на :

где:  

    Теорема доказана.

 

2) При числе темп охлаждения пропорционален коэффициенту температуропроводности.

Пластина:

Цилиндр:

Обычно в учебниках: , где k - коэффициент формы тела.

для пластины:

для цилиндра:

для шара:

цилиндр конечной длинны:

параллелепипед:

 

Конвективный теплообмен.

Совокупность процессов конвекции и теплопроводности называется конвективным теплообменом.

Если рассматривается конвективный теплообмен на границе: текучая среда – стенка, то такой процесс называется теплоотдачей.

 

   - вязкость?

  - коэффициент температурного расширения среды.

Впервые коэффициент вязкости ввёл Ньютон.

Рассмотрим твёрдую стенку и вектор скорости, направленный по оси Х:

 

y                                                                                         

                                                                                      эпюра

             x

                                                                      

 

  Ньютон принимал гипотезу «прилипания». Он предположил, что плотность поверхностных сил (касательные силы на единицу поверхности) пропорциональны градиенту скорости  в перпендикулярном направлении движения:

 

- касательные силы на единицу поверхности .

 - коэффициент динамической вязкости .

 - коэффициент кинематической вязкости.

- параметр, характеризующий сжимаемость среды.

    

(причем постоянный может быть любой параметр не зависящий от Р: …)

- скорость распространения малых возмущений.

- коэффициент температурного расширения среды.

  Если газ идеальный, то ;  

  Гипотеза прилипания работает не всегда. Это зависит от параметра Кнудсана:

- средняя длина пробега молекул до соударения;

- характерный размер канала.

Для сред, используемых в энергетике считается нормальным если

Если , то имеет место проскальзывание молекул и теория прилипания лишь частично применима. Если  - то гипотеза прилипания не работает.

  Свободное течение – течение под действием объёмных сил (поле сил тяжести).

 

 

Спецификой такого распределения является особое распределение скорости у стенки.

 

                                               

                                               

  На некотором удалении скорость будет близка к нулю – специфика свободного движения. Существует некая зона основного изменения параметров .

                                               

 

Вынужденное движение:

 

                                                                  Градиент температуры у стенки

                                                                  выше, чем при свободном

                                                                  движении.

 

 

Стенка является возмутителем и температурного поля и скоростного.

 

Рассмотрим стеночку, вдоль которой течёт некая среда. Прандтль предположил, что существует некоторый слой переменной толщины – здесь будет основное изменение скорости.

 

 - гидродинамический пограничный слой.

  Прандтль постулировал существование гидродинамического пограничного слоя с толщиной . По аналогии с моделью Прандтля, Кружилин предположил, что существует некий слой переменной толщины (тепловой пограничный слой), в котором происходит основное изменение температуры.

 

 

Пути решения задач

  Если математик предполагает, что система координат неподвижна, то можно по-разному оценивать изменение параметров в точке. В этом случае около точки выделяется объём с прозрачными стенками, который имеет неподвижный центр объема, и среда этот объём пронизывает.

 

 

                                                                            - локальный подход.

 

Локальный подход рассматривает локальную точку и некий условный объём

 определённая форма дифференциального уравнения.

Система координат привязывается к центру объёма. Этот локальный подход называется эйлеров подход. Если система координат подвижная, то такой локальный подход называется лагранжев подход.

Есть ещё один вариант, когда в пространстве с неподвижными координатами выделяется некий объём постоянной массы – субстанциальный подход.

Мы рассматриваем постоянную массу, но объём – переменный, границы этого объёма деформируются , центр объёма масс движется.

 

 

  Если мы возьмём любой параметр , то изменение этого параметра по времени нужно рассматривать как полную производную от сложной функции:

           проекция скорости на ось x проекция на ось у  проекция на ось z

 - субстанциальная производная от параметра, которая учитывает изменение параметра по времени с учётом перемещения центра объёма.

  Существует понятие массовых (объёмных) сил – это реально существующие силы. Примером таких сил является тяготение, инерция, магнитное поле, электрическое поле, биополе.

  Вводится понятие поверхностных сил. Они не существуют, но начинают проявляться только тогда, когда в движущуюся среду вводится возмущающий объект (стенка). Мы можем их рассматривать как силы, проявляющиеся как действие на поверхность этого тела. Примеры поверхностных сил: давление и силы трения.

  Математическое определение:   плотностью распределения массовых сил называется предел отношения вектора  к массе  при стягивании объекта в точку:

       

 

 

 

   - главный вектор массовых сил, приложенных к объекту .

  Касательными силами на единицу поверхности называется вектор

          

  

                                                             - элементарная площадка

- равнодействующая всех сил,

действующих на эту площадку.

  называется напряжением.

Массовые силы образуют векторное поле, так как в конкретной точке имеют одно направление и одну величину.

Поверхностные силы образуют тензор – бесконечное множество векторных полей. Тензор зависит от расположения площадки в точке.

  Рассмотрим текучую среду в декартовых координатах:

 

 

 

  Рассмотрим жидкий тетраэдр МАВС. Основание – треугольник АВС, вершина – точка М.  - нормаль к площадке АВС.

В механике жидкостей и газов различают лицевую сторону площадки (от которой возведена нормаль) и внутреннюю сторону. Сила, действующая на лицевую сторону – плюсовая сила. Рассмотрим силы, действующие на все площадки: .

  Мы учли, что кроме поверхностных сил могут действовать массовые силы.

  - масса тетраэдра.

  - ускорение (производная скорости повремени).

Начнём стягивать объект в точку:

Эти девять проекций определяют .

  Проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно через проекции напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным плоскостям, лежащих в координатных плоскостях, то есть совокупностью девяти величин.

Эта матрица является тензором второго ранга.

  

                                                                          Напряжённость.

Запишем относительно тензора второго ранга следующее:

  Отдельные компоненты тензора зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую состояние среды в данной точке и не зависит от выбора направлений осей координат.

  В любой точке может быть любой количество напряжений, в зависимости от направления площадки.

  Скорость любой точки твёрдого тела можно представить как скорость поступательного движения и угловую скорость вращения вокруг этой точки. Для жидкой среды появляется третья компонента – скорость деформации. Итак, скорость движения жидкости можно представить как скорость прямолинейного движения, скорость углового вращения и скорость деформации. Скорость деформации есть тензор, и соответствующие компоненты записываются так:

  Особенностью этой матрицы является то, что она симметрична в отличие от матрицы напряжений. Это значит, что если взять диагональ, то величины . Любой компонент этой матрицы рассчитывается очень просто:

где: и означает координату. Например:

  Согласно гипотезе Ньютона-Стокса существует связь следующего вида:

 - является величиной, которая называется давлением среды. - дельта функция, ненулевая в одной точке:

 

 

 

Вывод дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

Уравнение неразрывности.

                                                  Уравнение неразрывности мы будем выводить, используя локальный эйлеров подход. Будем использовать прозрачный для среды элемент постоянного объёма: .

Поток массы:     соответствующая площадь.

                                   плотность потока массы

                                                                (*)

  Изменение массы в выделенном объёме по времени зависит от потока массы через поверхность.

Это закон сохранения массы в выделенном объёме:

Преобразуем (*) по теореме Остроградского-Гаусса:

  Поскольку V произвольно, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений:

 

                                                  Это есть общее выражение закона сохранения массы или уравнение неразрывности.

Частный случай:

                                                  Несжимаемая среда .

пусть имеется плоское течение: