Информационные показатели измерительных устройств

 

С точки зрения теории информации суть измерения состоит в уменьшении неопределенности измеряемой величины путем сокращения интервала ее возможных значений. Количество информации I _п, относящееся к показанию прибора x _п, определяется в виде разности энтропий

 

,                 (6-339)

 

где Н (Х) - исходная энтропия измеряемой величины; Н (Х | x _п) - энтропия измеряемой величины после получения показания прибора x _п (обусловлена погрешностью измерения - см. § 6-10).

Если измеряемая величина и независимая от нее погрешность распределены равномерно в интервалах [ x ₁, x ₂] и [ x _п - Δ, x _п + Δ] соответственно, то

 

,         (6-340)

 

где  - относительная погрешность.

Таким образом, в этом наиболее простом случае количество информации непосредственно выражается через приведенную погрешность измерения.

Реальные условия, в которых производятся измерения, могут существенно отличаться от рассмотренных: закон распределения ошибки часто не является равномерным, параметры этого закона могут зависеть от измеряемой величины, а последняя в ряде случаев имеет законы распределения, неизвестные измерителю. Существует методика, позволяющая в значительной степени учесть эти обстоятельства и получить при некоторых допущениях такие информационные характеристики измерительных устройств, которые не зависят от измеряемых величин, а определяются только качествами самих приборов. К таким характеристикам относятся энтропийная погрешность и информационная способность прибора [10].

Э н т р о п и й н о й п о г р е ш н о с т ь ю Δ _п считается максимальное значение погрешности с равномерным законом распределения и такой же энтропией Н (Х | x _п), как и погрешность с данным законом распределения

 

               (6-341)

 

Здесь энтропия погрешности Н (Х | x _п) должна выражаться в натуральных единицах.

В общем случае Δ _п зависит от x _п, но часто погрешность измерения не зависит от измеряемой величины и тогда

 

,

 

где

 

 

С помощью понятия энтропийной погрешности любая погрешность с произвольным законом распределения заменяется эквивалентной (с точки зрения вносимой дезинформации) погрешностью с равномерным распределением. Из определения следует, что в случае равномерного распределения энтропийное значение погрешности совпадает с максимальным.

Энтропийная погрешность связана со средней квадратической погрешностью σ линейной зависимостью

 

,                             (6-342)

 

где k _э - энтропийный коэффициент, зависящий от вида закона распределения погрешности (табл. 6-25).

Таблица 6-25

Значения k _э для некоторых законов распределения

 

Коэффи-циент	Закон распределения
	Нормальный	Треугольный	Экспоненци-альный	Равномерный	Косинусоидальный
k э

 

Для большинства измерительных приборов энтропийный коэффициент имеет значения от 1,5 до 2.

Энтропийный коэффициент может быть выражен также через полную Р_п и энтропийную Р_п.э мощности погрешности измерения

 

                      (6-343)

 

Во многих случаях текущее значение относительной суммарной энтропийной погрешности δ может быть представлено в виде формулы

 

,                 (6-344)

 

где δ _s - относительная погрешность чувствительности (мультипликативная погрешность); Δ ₀ - абсолютная погрешность нуля (аддитивная погрешность); x - текущее значение измеряемой величины.

И н ф о р м а ц и о н н а я с п о с о б н о с т ь п р и б о р а N представляет собой эквивалентное число различимых интервалов (квантов) в рабочем диапазоне прибора. Она однозначно выражается через количество информации I, приходящееся в среднем на одно показание прибора

 

N = exp I,                           (6-345)

 

где I = H (X) - H (X | X _п), нит.

Для вычисления N необходимо знать закон изменения суммарной энтропийной погрешности прибора вдоль его шкалы и плотность распределения измеряемой величины р (х).

Для того чтобы информационная способность определялась только свойствами прибора, необходимо задаться единым, наиболее характерным законом априорного распределения измеряемых величин. В качестве такого закона целесообразно выбрать логарифмически равномерный (гиперболический) закон [10]

 

                                  (6-346)

 

С учетом принятых допущений могут быть получены формулы для расчета информационной способности

 

,                     (6-347)

 

где Д = х ₂ / х ₁ - относительная величина рабочего диапазона; В = δ ₀ / δ _s; f (В, Д) - весовой коэффициент, рассчитываемый в общем случае по методике, изложенной в [10]. Во многих случаях можно пользоваться приближенными формулами

 

 

С р е д н я я и н ф о р м а ц и о н н а я п о г р е ш н о с т ь γ_ср является обобщенным понятием точности измерительного прибора, по ее величине могут сравниваться самые разнообразные измерительные приборы, имеющие непостоянные по диапазону измерений относительные энтропийные погрешности.

Средняя информационная погрешность реального прибора в диапазоне от х ₁ до х ₂ определяется как постоянная во всем диапазоне погрешность чувствительности прибора с чисто мультипликативной погрешностью (δ ₀ = 0), обеспечивающего в том же диапазоне такую же информационную способность, что и рассматриваемый прибор. В соответствии с этим определением средняя информационная погрешность представляется выражением, стоящим в знаменателе (6-347).

С помощью рассмотренных информационных характеристик может быть найден оптимальный рабочий диапазон Д_опт любого измерительного устройства как область шкалы, которой соответствует максимум информационной способности.

При расчетах Д_опт справедлива приближенная формула

 

,                  (6-348)

 

которая для значений В = 10 ¸ 10^-8 дает ошибку аппроксимации, не превосходящую ± 5 %.