Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.

Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида для многочленов.

Найдём наидольший общий делитель многочленов А=x³+3x²+3x+2 и B=x³+2x²+2x+1.

Применим алгоритм Евклида:

 

 

_		x3+3x2+3x+2		x3+2x2+2x+1
		X3+2x2+2x+1		1
_x3+2x2+2x+1			x2+x+1
x3+ x2+ x			x+1
	_x2+x+1
	x2+x+1
	0

 

Ускоренные версии алгоритма.

Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:

где

Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.

8

Применение теории делимости.

Разложение на множители.

f(x):(x-1/2)

Разделим.

2x3+7x2-28x+12			x-1/2
2x3-x2			2x2+8x-24
		8x2-28x
		8x2-4x
-24x+12
-24x+12
0
	x=-6
	x=2

Значит 2x²+88x-24=0, т.е. x²+4x-12=0

 

Ответ: 2(x-1/2)(x+6)(x-2)

Сокращение дробей.

2x3+7x2-28x+12	=	2(x-1/2)(x+6)(x-2)	=	2(x+6)(x-2)	=	2(x+6)(x-2)
x-1/2		(x-1/2)		1

Ответ: 2(x+6)(x-2)

Решение уравнений.

1) 2x²-3x-5=0; f(x)=2x²-3x-5

f(-1)=2(-1)²-3(-1)-5=0, значит

f(x):(x+1) (:-символ кратности).

Разделим уголком:

а) 2x²:(x)=2x поставим под уголок

2x2-3x-5	x+1		Умножим 2x на (x+1)
	2x

б) 2x(x+1)=2x²+2x подставим под выражением 2x²-3x-5.

2x2-3x-5	x+1
2x2+2x	2x

в) Вычтем (2x²-3x-5)-(2x²+2x)=-5x-5

2x2-3x-5			x+1
2x2+2x			2x
	-5x-5

г) (-5x):x=-5

2x2-3x-5		x+1
2x2+2x		2x-5
	-5x-5

9

д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5

 

     

2x2-3x-5		x+1
2x2+2x		2x-5
	-5x-5
	-5x-5

 

  е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.

2x2-3x-5				x+1
2x2+2x				2x-5
		-5x-5
		-5x-5
			0
	x+1=0
	2x-5=0

  Процесс деления закончен.

 

Ответ:{-1;2,5}

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Задачи.

1) Проверьте, выполняются ли условия:

а) делится на ;

б) делится на .

2) Докажите, что

делится на .

3) Найдите значения параметров и , при которых

делится на .

4) Найдите все значения параметров и , такие, что остаток от деления

на равен .

5) Найдите все натуральные , такие, что

делится на .

6) Известно, что остаток от деления полинома на равен 2, от деления на равен 1. Найдите остаток от деления на .

7) Найдите остаток от деления многочлена на .

 

10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в теории делимости многочленов изучают признаки делимости одного многочлена на другой. Теория делимости многочленов предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать определение теории делимости многочленов: теория делимости многочленов - это математическая наука, изучающая деление одного многочлена на другой.

Данная работа помогает разобраться в сущности теории делимости многочленов, научиться решать с помощью нее математические уравнения, понять в каких областях она может применяться.

 

 

БИБЛИОГРАФИЯ

1.Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.

2. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о алгоритме Евклида.

3. sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.

4. www.ref.by/refs: статья о теореме Безу.

5. ru.math.wikia.com: статья о теореме Евклида.

6. ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.

7. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о многочленах.

8. Никольский.С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2009 г. (дополнения к главе).

 

                       

 

 

11