Методика расчета основных термодинамических параметров

 однократно ионизованной плазмы

 

       Для плазмы с молярным весом атомов () и массой М(кг) (числом молей атомов и ионов ), находящейся в объеме V при температуре Т, после определения степени ионизации a рассчитываются:

- число молей электронов , однозарядных ионов , нейтральных атомов  и полное число молей всех компонент ;

- полное  и парциальные давления отдельных компонент:

 - парциальное давление электронов и ионов,

 - парциальное давление атомов.

       В соответствии с (7в) полные внутренняя энергия Е и энтальпия Н находятся из формул:

, ,                      (21)

где , .

       Удельные мольные = , =  и массовые величины внутренней энергии и энтальпии = , =  находятся с помощью следующих выражений:

,  (),

(22)

,    ().

       Здесь следует обратить внимание, что с учетом имеющейся зависимости степени ионизации a от Т и V выражения для внутренней энергии и энтальпии (21,22) показывают, что плазма не является калорически идеальным газом, для которого внутренняя энергия не зависит от объема (закон Джоуля), хотя каждая из его компонент считается совершенным газом (т.е. газом с постоянной теплоемкостью). Кроме того зависимости теплоемкостей плазмы, как «химически» реагирующей газовой смеси, от температуры имеют характерные особенности, физически обусловленные необходимостью затрат теплоты на осуществление эндотермической реакции ионизации с тепловым эффектом .

       Расчет удельных молярных теплоемкостей при постоянном объеме  и давлении  следует проводить по формулам:

, , (23)

       Для того, чтобы зафиксировать соответствующие переменные V и P в (23) при вычислении  следует пользоваться зависимостью  по (14), а при расчете  необходимо воспользоваться уравнением (15), устанавливающим явный вид функции .

       Используя соотношение (21) с учетом (14) и (15) нетрудно показать, что

,(24 а)

, (24 б)

       Мольные теплоемкости  (также как и удельные мольные величины других термодинамических параметров), рассчитываемые по (23,24), определены по отношению к фиксированному числу молей «тяжелых» частиц (атомов и ионов), т.е. , где  - полные () теплоемкости плазмы при постоянных V или P. Можно рассчитать удельные мольные теплоемкости по отношению полному числу молей всех компонент плазмы  т.е. , выражения для которых с учетом (24) имеют вид:

,

Из этих соотношений наглядно видно, что теплоемкости атомарной плазмы в области однократной ионизации могут быть представлены как сумма удельной теплоемкости одноатомного идеального газа  () и теплоемкости, связанные с затратами энергии на ионизацию газа ~ .

       Видно, что в области низких температур (), где степень ионизации a®0 теплоемкости стремятся к значениям совершенного одноатомного неионизованного газа  (). Для высоких температур (), когда a®1 и , теплоемкость плазмы, представляющей из себя смесь уже «нереагирующих» между собой электронов и ионов, также стремится к значениям, соответствующим идеальному одноатомному газу  (). При этом удельные молярные теплоемкости  и  принимают значения также вычисляемые по формулам идеального газа, но с учетом удвоения в смеси общего числа молей, т.е.  (). Здесь отметим, что реально последнее утверждение не совсем верно, т.к. после первой ионизации наступает вторая и в области T³T_K имеет место процесс образования ионов с z=2, вносящий соответствующий вклад в величину теплоемкости [2,3].

рис.2

В области температур TÎ[ ], где имеет место интенсивная ионизация газа, величина теплоемкостей определяется в основном «ионизационным» слагаемым . При Т~Т_к значения теплоемкостей  () имеют резкий максимум, величину которого можно оценить как  и . Качественные зависимости  и  приведены на рис.2.

       Показатель адиабаты плазмы  как функция температуры Т и объема V определяется по формуле

,    (25)

из которой следует, что при a®0 и a®1 величина g®5/3, т.е. стремится к значению показателя адиабаты идеального одноатомного газа. В области температур [ ], соответствующей эффективной ионизации , достигая минимального значения при  - .

       При расчете удельной (на единицу массы) энтропии S_m () плазмы следует воспользоваться формулой, полученной методами статистической физики для Максвелл -Больцмановского газа [2]:

, (26)

где -безразмерная функция температуры и объема плазмы (е=2.714-основание натурального логарифма), а -масса тяжелых частиц.

       Согласно (26) энтропия плазмы представляет собой сумму энтропий электронной, ионной и нейтральных компонент плазмы с учетом доли каждой в составе смеси. Как видно из (26) в области температур  (a®0) энтропия определяется энтропией атомов газа. При полной ионизации атомов (a®1) энтропия плазмы равна сумме энтропий электронной и ионной компонент (соответственно первое и второе слагаемые в (26)).

       Следует отметить, что формула (26) (впрочем, как и все остальные приведенные здесь соотношения) непригодна при низких температурах. Поэтому не следует удивляться тому, что при Т®0 согласно (26) S_m®-¥ в противоречии с третьим законом термодинамики. Термодинамические функции газа при низких температурах Т необходимо вычислять учитывая эффекты вырождения газа, его неидеальность и квантование энергии.

       Вычисление свободной энергии  и функции Гиббса  следует проводит по известным соотношениям:

,    , ()                        (27)

 

Пример расчета состава и основных термодинамических параметров плазмы в области однократной ионизации

       Рассмотрим численный пример решения сформулированной в пункте 1 задачи для варианта №43, для которого в качестве плазмообразующего вещества является золото (Au).

Исходные для расчета данные выбираются в соответствии с номером варианта ДЗ по таблице1:

Вычисляются вспомогательные параметры, необходимые для дальнейших расчетов, которыми являются: , ,  (см. 16а). . Величины  и  являются функциями плотности и должны быть приведены в табличной форме:

Параметр	=10 кг/м3	=1 кг/м3	кг/м3
,моль	5.07	0.507	0.0507
, К	867	186	40

       Определяются значения эффективной температуры Т_ki=T_K(r_i) (см. (18)) и ширины температурного интервала эффективной однократной ионизации DТ_i=f(r_i) (см. (20)), а также отношения величин , , i=1,2,3. Результаты необходимо представить в виде таблицы:

	ρ1	ρ2	ρ3
	2,215х104	1,68х104	1,353х104
	2,76х104	1,587х104	1,029х104
	1,637	1,242	1
	1,246	0,945	0,761

 

       По формулам приведенным в методическом указании производятся расчет всех требуемых параметров плазмы с массой М₂=10^-2 г для трех значений температур Т₂₁=Т_К2-DТ₂/2=16,8-(15,87/2)=8,87 кК, Т₂₂=Т_К2=16,8 кК, Т₂₃=Т_К2+DТ₂/2= 16,8+ (15,87/2)=24,74 кК

№ п/п	Параметр, Размерность	Формула, ссылка	Т21=8,87 кК	Т22=16,8 кК	Т23=24,74 кК
1	a	(14)	0,061	0,791	0,977
2	a0	(13)	0,939	0,209	0,023
3	N0, моль	Стр. 18	4,763х10-5	1,06х10-5	1,178х10-6
4	Ne, моль	Стр. 18	3,083х10-6	4,011х10-5	4,953х10-5
5	N∑, моль	Стр. 18	5,379х10-5	9,082х10-5	1,002х10-4
6	n0, м3	Стр. 7	2,869х1024	6,381х1023	7,095х1022
7	ne, м3	Стр. 7	1,857х1023	2,416х1024	2,983х1024
8	n∑, м3	Стр. 7	3,24х1024	5,47х1024	6,038х1024
9	Pe=Pi,, Па	Стр. 18	2,274х104	5,603х105	1,019х106
10	P0, Па	Стр. 18	3,512х105	1,48х105	2,423х104
11	P, Па	Стр. 18	3,967х105	1,269х106	2,062х106
12	сV, Дж/мольК	(23)	58,021	92,366	30,879
13	cP, Дж/мольК	(23)	75,184	133,593	49,739
14	γ	(27)	1,3	1,4	1,6
15	eμ, Дж/моль	Стр. 18	1,713х105	1,077х106	1,476х106
16	em, Дж/кг	Стр. 18	8,685х105	5,46х106	7,485х106
17	hμ, Дж/моль	Стр. 18	2,495х105	1,327х106	1,883х106
18	hm, Дж/кг	Стр. 18	1,265х106	6,729х106	9,547х106
19	Sm, Дж/кгК	(26)	1,257х103	1,618х103	1,72х103
20	Fm, Дж/кг	(27)	-1,028х107	-2,172х107	-3,508х107
21	Gm, Дж/кг	(27)	-9,881х106	-2,045х107	-3,302х107

 

       Строются графические зависимости с_V/R_o и с_P/R_o от температуры Т:

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Техническая термодинамика / Под. ред. В.И.Крутова:

Учебник для вузов. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1991.

2. Козлов Н.П. Основы физики плазмы М.: РЦ ГПНТБ, 1997

3. Термодинамические и оптические свойства газов при температурах до 100 эВ. / Бойко Ю.В., Гришин Ю.М., Козлов Н.П. и др. М.:Энергоатомиздат, 1988