Оценка погрешностей результата вычислений

 

     Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений (V, S, Y), если известны оценки абсолютных погрешностей измерения участвующих в выражениях величин:

 

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

 

 

2. Методы решения нелинейных уравнений

     2.1. Общие сведения

     Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным методам, т.е. методам получения последовательности точек , которая сходится к решению уравнения .

 При этом итерационный процесс останавливается тогда, когда достигается заданная точность  полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции  отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину , т.е. .

А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше , т.е. остановка будет производиться при нахождении такого отрезка , содержащего корень, что длина его будет не больше . Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения отличается от найденного не больше, чем на , т.е. .

 

2.1.1. Метод хорд

 

Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция  непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.

Для начала ищется отрезок  в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.

Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х ₁. Затем определяется, на каком из отрезков  или  лежит корень уравнения. Если , то корень лежит на отрезке  и  становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование  и .

Если , то корень – на отрезке  и  становится левым концом нового отрезка локализации корня, а – правым концом этого отрезка, т.е.  и .

     Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки . Остановка производится при нахождении такого приближения , что .

 

Этот процесс можно увидеть на рис.1.

Рис.1

 

     Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:

. Часто вместо этого метода используют метод деления пополам, где очередное приближение находят по формуле . При этом отрезок локализации по длине можно сжать до какого угодно наперед заданного значения. Поэтому остановка процесса может быть произведена при выполнении условия .

 

2.1.2. Метод касательных Ньютона

 

Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции :

1) На найденном отрезке локализации корня  должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка должны быть разных знаков, т.е. .

2)  должна иметь непрерывную вторую производную на этом отрезке.

3) Кроме того, на отрезке  вторая производная функции

должна сохранять свой знак.

     Тогда в качестве начального приближения корня выбирается по следующему правилу:                             

     Затем в точке с абсциссой  строится касательная к графику функции . Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня . И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность .

Если достаточно получить точку, в которой  не превышает по модулю заданное число , то производят остановку при выполнении этого условия.

Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на , то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:

     , где

         

           и 

     Процесс можно увидеть на рис.2.

     Рис.2

Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:

    

 

2.1.3. Пример 1

Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения  с точностью . Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . При этом . В качестве правой границы можно взять . При этом . Выполняется необходимое условие .

     Найдем первое приближение корня

Найдем значение функции в этой точке

Проверим, не надо ли прекратить вычисления:

 , значит, точность еще не достигнута.

Т.к. , следующим отрезком будет .

     Найдем второе приближение корня

Найдем значение функции в этой точке

.

, поэтому продолжаем вычисления.

Т.к. , следующим отрезком будет

. И т.д. до достижения заданной точности.

 

2.1.4. Пример 2

 

Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения  с точностью .

Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . Значение функции в этой точке равно . В качестве правой границы можно взять . Значение функции в этой точке равно . А значит, выполняется необходимое условие применения метода .

Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции:  –  непрерывная функция.

А также на выбранном отрезке вторая производная функции  не меняет знак. Действительно,    больше нуля на всем отрезке .

Выберем в качестве первого приближения , т.к. .

     Найдем второе приближение корня

Значение функции в этой точке равно

 поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня

Значение функции в этой точке равно

 

поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня

Значение функции в этой точке равно

 

.И так далее до достижения точности.

 

2.2. Лабораторная работа №2

Решение нелинейного уравнения методом хорд

 

2.2.1. Задача №1

 

Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить коэффициент гидравлического сопротивления  при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки  для заданного числа Рейнольдса Re.

  Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:

 

     Данные по вариантам:

 

№ варианта	шероховатость	число Рейнольдса Re
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

 

2.2.2. Задача №2

 

           Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить расход дизельного топлива Q () плотностью  и кинематической вязкостью  при перекачке по участку трубопровода длиной L = 125 км, диаметром d = 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки = 0.0005, если насосная станция работает с двумя последовательно включенными насосными агрегатами.

     Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:

,

 

где  и  – подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;

a  и b – коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;

 и  – высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.

 

     Данные по вариантам:

 

№ вар.	, м	, м	a, м	b,	, м	, м
1	50	30	662		100	200
2	30	50	630		200	100
3	70	30	580		50	150
4	40	60	600		120	180
5	60	40	550		180	120
6	60	30	570		80	150
7	30	50	662		120	190
8	70	30	630		50	170
9	60	40	580		180	110
10	60	30	550		50	160

 

     2.2.3. Задача №3

 

     Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:

,  где

     ,

     ,

     R – универсальная газовая постоянная,

     T – температура газа,

     P_c – критическое давление,

     T_c – критическая температура,

     V – молярный объем газа.

         

     Воспользовавшись методом деления пополам для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления P итемпературы T.

     Величины критических параметров P_c и T_c отдельных газов приведены с следующей таблице:

 

газ	метан	этан	пропан	n -бутан	i- бутан	n -пентан
	190,55	305,43	369,82	408,13	425,16	469,65
	4,695	4,976	4,333	3,871	3,719	3,435

 

Газ	i -пентан	n -гексан
	460,39	507,35
	3,448	3,072

 

Задания по вариантам:

         

№ вар.	1	2		3		4		5	6
Газ	Метан	этан		пропан		n -бутан		i- бутан	n -пентан
Т, К	305	508		490		760		530	600
Р, МПа	2,200	3,700		1,570		1,800		1,250	2,400
№ вар.	7		8		9		10	11		12
газ	i -пентан		n -гексан		метан		этан	n -бутан		пропан
Т, К	560		720		311		620	560		540
Р, МПа	2,250		2,500		1,750		2,370	1,600		1,590

 

 

2.3. Лабораторная работа №3