Существование и единственность интерполяционного многочлена

Интерполирование

Постановка задачи

Пусть в (n+1) точках  задана непрерывная функция  со своими значениями , то есть фактически задана таблица

 

      

 

 

                                                   (1)

Требуется найти значение функции f  для аргумента , но не совпадающего с табличным

Если аналитическое выражение функции  неизвестно или очень сложное, то часто прибегают к замене функции  на , которая в некотором смысле близка к функции  и аналитическое выражение которой будет известно.

Записывают , где  - приближающая функция.

Существуют различные способы построения приближающей функции. Это зависит от выбора критерия близости.

Классическое построение приближающей функции основывается на требовании строгом совпадения значений функции  и  в заданных точках, то есть  ;

Нахождение функции, удовлетворяющей этим условиям, называется интерполированием или интерполяцией.

 - интерполирующая функция;

 - интерполируемая функция;

заданные точки  - узлы интерполяции.

Будем искать интерполирующую функцию в виде многочлена  степени не выше n, который в заданных точках принимает такие же значения, что и заданная функция .

(*) – условие интерполирования, . Многочлен  называется интерполяционным многочленом, само интерполирование - параболическим.

Таблица 1 задает систему точек  геометрический смысл интерполяции заключается в том, что график функции  заменяется параболой n –го порядка, являющийся графиком  и проходящей через заданные точки , то есть график функции  и  имеют (n+1) общую точку.

 

 

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

 

                                                                                                         (8)

 

Заменяем в вычислениях значение функции значением интерполяционного многочлена в формуле (8), мы допускаем тем самым погрешность.

Обозначим разность

- остаточный член формулы Лагранжа. Он и дает погрешность метода.

Теорема: если функция  имеет на  непрерывную производную до (n+1) порядка , то остаточный член  можно представить в виде , где .

Если будет известно, что , то получим оценку погрешности.

 

                                                                                            (9)

 

Формула (9) дает погрешность метода

Пример: С какой точностью можно вычислить , с помощью интерполяционной формулы Лагранжа построенный для функции ,используя 3 узла интерполяции.

n+1=3, n=2 – степень многочлена

За  можно принять  на отрезке

, на отрезке

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов

Рассмотрим многочлен Лагранжа в краткой форме

, где  - значение функции

Будем рассматривать равноотстоящие узлы  с шагом h, h – шаг интерполирования, тогда

   

Рассмотрим дробь

Введем новую переменную

Если , то

 и многочлен Лагранжа запишется в виде

Это и есть многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполирования.

 

 

Интерполирование

Постановка задачи

Пусть в (n+1) точках  задана непрерывная функция  со своими значениями , то есть фактически задана таблица

 

      

 

 

                                                   (1)

Требуется найти значение функции f  для аргумента , но не совпадающего с табличным

Если аналитическое выражение функции  неизвестно или очень сложное, то часто прибегают к замене функции  на , которая в некотором смысле близка к функции  и аналитическое выражение которой будет известно.

Записывают , где  - приближающая функция.

Существуют различные способы построения приближающей функции. Это зависит от выбора критерия близости.

Классическое построение приближающей функции основывается на требовании строгом совпадения значений функции  и  в заданных точках, то есть  ;

Нахождение функции, удовлетворяющей этим условиям, называется интерполированием или интерполяцией.

 - интерполирующая функция;

 - интерполируемая функция;

заданные точки  - узлы интерполяции.

Будем искать интерполирующую функцию в виде многочлена  степени не выше n, который в заданных точках принимает такие же значения, что и заданная функция .

(*) – условие интерполирования, . Многочлен  называется интерполяционным многочленом, само интерполирование - параболическим.

Таблица 1 задает систему точек  геометрический смысл интерполяции заключается в том, что график функции  заменяется параболой n –го порядка, являющийся графиком  и проходящей через заданные точки , то есть график функции  и  имеют (n+1) общую точку.

 

 

существование и единственность интерполяционного многочлена

Интерполяционный многочлен  можно записать по убывающим степеням.

 

                                                                   (2)

 

Неизвестные коэффициенты многочлена будем искать из условия (*).

Получим систему из (n+1) уравнения с неизвестными

 

                                                                         (3)

 

(3) – линейная неоднородная система.

Запишем определитель системы , где - определитель Вандермонда,

 

 

Так как узлы интерполирования различны, то определитель  система (3) имеет единственное решение, то есть коэффициенты многочлена (2) существуют и определяются единственным образом.

 Замечание: решая системы с (n+1) неизвестными, то есть имея (n+1) узел интерполяции, мы получаем многочлен степени не выше n.

Такой способ отыскания коэффициентов многочлена связан с решением системы, увеличение количества узлов интерполяции приводит к большим трудоемким вычислениям. Другой способ отыскания коэффициентов был предложен Лагранжом.

 4.3 интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция  задана таблицей 1, построим интерполяционный многочлен , который удовлетворял бы условию (*). Будем искать  в виде

 

                                                                   (4),

 

где  - многочлен степени не выше n и удовлетворяет следующему условию:

                                                                                               (**)

Из условия (**) следует, что все узлы, кроме одного, а именно  являются нулями многочлена . 

                                         (5)

 

А при ; ,

 тогда

Подставляя  в (5) получаем

   

Так как , то окончательно получим

 

                                    (6)

 

Многочлен (6) и есть многочлен Лагранжа.

Многочлен (6) можно записать и в более краткой форме.

Обозначим  - многочлен (n+1) степени.

Производная от точки  имеет вид:

 

                                                                                       (7)

 

Многочлен (7) и есть краткая запись многочлена Лагранжа.

Приближенное равенство

 

                                                                                                           (8)

 

называется интерполяционная форма Лагранжа.

Пример: построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей.

	0	0.5	1	2
	1	2	4	3

n +1=4 – количество узлов;

n=3 - степень многочлена.