Полуограниченная и ограниченная струна.

Метод продолжения.

Задача о распространении волн на полуограниченной прямой  важна при изучении процесса отражения волны от края. Рассмотрим, например, задачу о распространении начального возмущения в струне с закрепленным краем.

Найдем решение уравнения колебаний

удовлетворяющее начальным условиям

и одному из граничных условий    (или ).

Непосредственно воспользоваться формулой Даламбера мы не имеем права, т.к. заданные начальные функции  и  определены только на полупрямой . Для возможности применения решения Даламбера следует продолжить начальные данные влево от . С физической точки зрения это означает, что мы хотим задать такое начальное возмущение бесконечной струны, чтобы колебания ее участка  были такими же, как если бы конец  был закреплен (или свободен).

В случае закрепления конца  (граничное условие ) начальные данные следует продолжить на всю прямую нечетным образом. Тогда из формулы Даламбера при  получается

в силу нечетности функций  и .

В случае свободного конца (граничное условие ) начальные данные следует продолжить на всю прямую четным образом.

Тогда из формулы Даламбера при  получаем

так как производная  от четной функции является нечетной.

Например, пусть в задаче для полубесконечной струны с закрепленным краем начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке  и имеет форму треугольника; начальная скорость равна нулю. Строим нечетное продолжение начального отклонения и смотрим, что происходит на фазовой плоскости (нас интересует реальная струна, то есть область ). На рисунке совмещены фазовая плоскость  и плоскость . В заштрихованных полосах отклонение отлично от нуля. Знаки плюс и минус указывают на знак фазы отклонения.

Здесь область  – процесс отражения обратной волны от закрепленного края, область  – отраженная волна (в противофазе).

Чтобы воспользоваться формулой Даламбера для ограниченной струны , продолжаем начальные данные для закрепленных концов нечетным образом влево от  и вправо от . Для свободных концов продолжаем начальные данные четным образом.

 

Задачи для самостоятельного решения

I. Решить следующие уравнения:

1) . Ответ: .

2) . Ответ:

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

5) .

Ответ: .

6) . Ответ: .

7)

Ответ:

II.  Пользуясь формулой Даламбера, решить задачи:

1)

Ответ:

2)

Ответ:

III. Решить задачу Коши (найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

1) ,

.

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3)

Ответ:

4)

Ответ: .

IV. Применить метод распространяющихся волн для решения задач.

1) Колебания бесконечной струны вызваны начальным отклонением

Начальная скорость и внешняя возмущающая сила равны нулю. Построить профиль струны в момент времени  На фазовой плоскости проследить за процессом при изменении  от 0 до  (вдоль вертикали) и при изменении  от  до  (вдоль горизонтали).

 

2)  Бесконечной струне на отрезке  сообщена поперечная начальная скорость , вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Построить профиль струны для моментов времени

 

3) Полубесконечная струна, закрепленная в конце , возмущена начальным отклонением (см. рис.). Построить профиль струны для моментов времени  На фазовой плоскости проследить за процессом.

4) Конечная струна, закрепленная на концах , , возмущена начальным отклонением (см. рис.). Построить профиль струны для моментов времени  На фазовой плоскости проследить за процессом.