История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
 2022-12-20 |
 53 |
из
5.00
|
Заказать работу |
Содержание книги
Поиск на нашем сайте
|
|
|
|
Разрабатывая теорию элементарных функций комплексной переменной Леонард Эйлер ввел комплексную переменную в качестве наиболее общего понятия переменной величины. Им в 1748 г. была получена замечательная формула, впоследствии носящая его имя, которая устанавливает связь показательной комплексной функции с тригонометрическими функциями
, 
. (2.24)
Так как модуль 
, то при непрерывном изменении 
точка 
описывает на комплексной плоскости окружность радиуса 
с центром в начале координат. С помощью этой формулы можно возводить число е (основание натуральных логарифмов) в любую комплексную степень.
Справедливы равенства:
, 
, 
. (2.25)
Для произвольной комплексной переменной 
функция
. (2.26)
Используя формулу Эйлера (2.24) и тригонометрическую форму комплексного числа 
(2.13) можно записать равенство 
и получить показательную форму комплексного числа:
. (2.27)
Показательную форму комплексного числа целесообразно использовать при умножении, делении, возведении в степень.
Если 
и 
, то справедливы формулы:
(2.28)
2.6. Условие заданий 1 и 2. Решение типового варианта
Задание 1. Даны два комплексных числа 
и 
, например,
и 
.
1) Найти действительную (Re z) и мнимую (Jmz) части комплексных чисел и ; построить и на комплексной плоскости.
2) Найти 
, 
, 
, 
. Записать числа и в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
3) Вычислить 
, 
, используя алгебраическую форму записи чисел.
4) Вычислить 
и 
в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
5) Найти 
, используя тригонометрическую форму записи числа.
6) Найти все значения корней 
, выразить их в алгебраической форме. Построить значения корней на комплексной плоскости.
Решение. Оба рассмотренных выше комплексных числа и не представлены в одной из общеприняты форм. Используя формулу (2.4) выразим их в алгебраической форме.
1) 
.
Следовательно, 
, 
.
,
, 
.
2) Изобразим и на комплексной плоскости 
, рис. 5.
Найдем модули комплексных чисел и :
,
.
Рис. 5
Из рис. 5 видно, что находится в III четверти, а - во II-ой.
По определению из (2.12) имеем
,
или 
.
Найдем .
.
Запишем числа в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
3) Запишем и в алгебраической форме:
,
.
4) Вычислим и в алгебраической форме:
,
;
в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
5) Найдем , используя тригонометрическую форму записи числа:
.
6) Найдем все значения , используя тригонометрическую форму, и установим их значения в алгебраической форме. Для этого воспользуемся формулой (2.23).
В нашем случае 
; 
; 
; 
; 
.
Получим значения
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Строим корни на комплексной плоскости, рис. 6.
Рис. 6
Итак, корень 4-й степени из комплексного числа имеет 4 различных значения, которые располагаются в вершинах правильного 4-х угольника, вписанного в окружность радиусом 
с центром в точке 
.
Варианты задания 1
Вариант 1.
а) 
б) 
Вариант 2.
а) 
б) 
Вариант 3.
а) 
б) 
Вариант 4.
а) 
б) 
Вариант 5.
а) 
б) 
Вариант 6.
а) 
б) 
Вариант 7.
а) 
б) 
Вариант 8.
а) 
б) 
Вариант 9.
а) 
б)
Вариант 10.
а) 
б) 
Вариант 11.
а) 
б) 
Вариант 12.
а) 
б)
Вариант 13.
а) 
б)
Вариант 14.
а) 
б)
Вариант 15.
а) 
б) 
Вариант 16.
а) 
б) 
Вариант 17.
а) 
б) 
Вариант 18.
а) 
б) 
Вариант 19.
а) 
б)
Вариант 20.
а) 
б) 
Вариант 21.
а) 
б) 
Вариант 22.
а) 
б) 
Вариант 23.
а) б)
Вариант 24.
а) 
б) 
Вариант 25.
а) 
б) 
Вариант 26.
а) 
б) 
Вариант 27.
а) б) 
Вариант 28.
а) 
б) 
Вариант 29.
а) 
б) 
Вариант 30.
а) 
б) 
Задание 2. Вычислить значения приведенных выражений а); б).
Пример: 
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 10. Вариант 11. Вариант 12.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 13. Вариант 14. Вариант 15.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 16. Вариант 17. Вариант 18.
а) 
а) а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 19. Вариант 20. Вариант 21.
а) а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 22. Вариант 23. Вариант 24.
а) а) 
а) 
б) б) 
б) 
Вариант 25. Вариант 26. Вариант 27.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 28. Вариант 29. Вариант 30.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Задание 3.
Найти корни приведенных выражений а); б).
Пример: а) 
; б) 
;
1) Решение: 
, 
.
,
.
Ответ: ;
2) Решение: 
,
Запишем число 
в тригонометрической форме:
Тогда 
,
,
,
,
Вариант 1 Вариант 2
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 3 Вариант 4
а) 
б) 
а) 
б)
Вариант 5 Вариант 6
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 7 Вариант 8
а) 
б) а) 
б) 
Вариант 9 Вариант 10
а) б) 
а) 
б) 
Вариант 11 Вариант 12
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 13 Вариант 14
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 15 Вариант 16
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 17 Вариант 18
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 19 Вариант 20
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 21 Вариант 22
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 23 Вариант 24
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 25 Вариант 26
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 27 Вариант 28
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 29 Вариант 30
а) 
б) 
а) 
б) 
Библиографический список
1. Рыбников К.А История математики. – М.: Издательство МГУ, 1994. -496 с.
2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 - 158 с.
3. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для вузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 416 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984 – 432 с.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989 – 656 с.
6. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1996 – 448 с.
7. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 – Мн.: Высшая школа, 1991. – 352 с.
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpediasu.com 2017-2026 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!
