Многозвенные коммутационные матрицы.

На рис. 6 приведена двухзвенная схема коммутации. Сравним далее эту схему с однозвенной по числу точек коммутации.

 

                  

 

 

Рис. 6 Двухзвенная коммутационная матрица

 

       На рис. 6 приняты следующие обозначения:

n – число входов в матрицу звена А;

r – число матриц звена А;

m – число промежуточных линий между звеньями А и В;

s – количество входов в матрицу звена В;

k – количество выходов из матрицы звена В;

f – связность – число промежуточных линий, которые соединяют одну определенную матрицу звена А с одной определенной матрицей звена В.

Пусть необходимо N входов с M выходами. Тогда будут соблюдаться следующие условия:

- для однозвенной схемы число точек коммутации равно NM;

- для двухзвенной схемы коммутации число точек коммутации равно r(nm)+(m/ f)(ks);

- число коммутаторов звена А - r определяется общим числом входов N и составляет r= N/ n;

- число коммутаторов звена B – m/ f определяется общим числом выходов М, т.е. m/ f= M/ k.

           

Тогда число точек коммутации двухзвенной схемы будет равно Nm+ Ms.

Рассмотрим количество точек коммутации на примере квадратной матрицы  со связностью, равной .

Количество матриц звена А будет равно . Тогда количество точек коммутации в одной матрице будет -  и количество всех точек коммутации в звене А - . Общее количество точек коммутации в двухзвенной матрице будет –

 

.                                                                      (1)

 

При введении связности  общее количество точек коммутации в двухзвенной матрице  будет равно

 

.                                                                            (2)

 

       Из (1) следует, что при  двухзвенная матрица по количеству точек коммутации вдвое превышает однозвенную, при  двухзвенная матрица по количеству точек коммутации становится равной однозвенной и при  - количество точек коммутации двухзвенной матрицы в  раз меньше, чем в однозвенной. Это все при связности , равной единице. Увеличение связности, в соответствии с (2), приводит к увеличению количества точек коммутации.

Рассмотренные двухзвенные коммутационные схемы, следовательно, могут быть во много раз более экономичны, чем однозвенные.  

       Мотивации перехода от квадратной к многозвенной следующие: неэффективность однозвенных (требуется большое число точек коммутации), необходимость иметь более одного пути для каждого соединения.

       На рис. 7 приведена трехзвенная коммутационная матрица. Входы и выходы разделены на подгруппы из  входов и  выходов каждая. Входы каждой подгруппы обслуживаются коммутаторами. Входные коммутаторы (первое звено коммутации) являются коммутаторами , где каждый из  выходов соединен с одним из  центральных коммутаторов (второго звена). Межзвеньевые соединения называют соединительными. Третье звено состоит из коммутаторов размером , которые обеспечивают соединение от каждого коммутатора центрального звена к группе из  выходов. Такая многозвенная структура обеспечивает наличие в коммутационном поле k альтернативных путей.

      

 

Рис. 7 Трехзвенная коммутационная матрица

 

Общее число точек коммутации , необходимое для построения трехзвенного коммутатора рис. 7, равно

 

.                                                                (1)

 

       В 1953 году Чарльз Клоз из лаборатории Белла опубликовал исследование трехзвенного коммутатора, где приводятся расчеты числа коммутаторов центрального звена, необходимые для работы без блокировки. Это число равно

 

.                                                                                  (2)

 

       Подставляя (2) в (1) получим, что общее число элементов коммутации для неблокируемого трехзвенного коммутатора

 

.                                           (3)

           

       Можно определить минимальное значения , определенное формулой (3) относительно n, числа входов элемента 1-го звена. Для этого можно продифференцировать (3) по , приравнять нулю полученное выражение и определить из него значение , соответствующее минимуму . В результате можно получить, что минимальное число точек коммутации трехзвенного неблокируемого коммутатора,

 

.                                                                (4)

 

       В табл. 1 приведены значения для неблокируемых трехзвенных коммутаторов различных размеров в сравнении с числом точек коммутации однозвенных квадратных коммутационных матриц. Трехзвенные коммутационные матрицы обеспечивают значительную экономию точек коммутации, особенно для коммутаторов большой емкости. Однако для больших емкостей это число остается весьма большим. Поэтому обычно большие коммутаторы используют более трех звеньев. На рис. 8 показан блок, содержащий 8 коммутационных матриц 8х8. Он имеет общее число входов N=64 и выходов M=64. Для увеличения числа входов и выходов строится схема из 8 блоков, которая позволяет увеличить число входов и выходов до N=M=512.

       Показанная на рис.7 схема коммутации имеет равное количество входов и выходов, однако для построения телефонных систем применяют различные типы коммутационных блоков. Они различаются не только параметрами коммутаторов, но и числом каскадов.

 

       Таблица 1. Сравнительная оценка числа точек коммутации

        

           

Значительное уменьшение числа точек коммутации может быть достигнуто за счет их работы с приемлемой вероятностью блокировок соединений.

Вероятности блокировок. Графы Ли. Метод Якобеуса. Оборудование проектируется так, чтобы не превышать определенную вероятность блокировки в час найбольшей нагрузки. Вероятность такой блокировки является одним из показателей качества обслуживания. (Другими показателями являются надежность, качество передачи сообщений и задержка установления соединения.)

Рис. 8 Пример построения 4-х звенной коммутационной схемы 512х512

 

Один из наиболее простых и универсальных методов оценки вероятности блокировки соединений это метод графов Ли. Если вероятность занятия линии обозначит “р” (вероятность того, что линия свободна обозначим q=(1-р)), то вероятность блокировки при “n” параллельно соединенных линиях будет равна В=р ⁿ, а при “n” последовательно соединенных линиях –

 

 В=(1- qⁿ).                                                                                                 (5)

 

Если имеем трехзвенный коммутатор с числом вторых звеньев, равных “к”, то вероятность блокировки будет равна

 

В=(1- q^‘2)^к,                                                                                               (6)

 

где q^’ – вероятность того, что промежуточная линия свободна; (р^’ – вероятность занятости промежуточной линии) (рис. 7).

Если р – вероятность занятости входа, то вероятность занятости промежуточной линии будет равна

 

р^’=р/ , р< ,                                                                                        (7)

 

где =к/n, т.е. число промежуточных линий в  раз больше числа входов или выходов.

Т.е. первое звено осуществляет пространственное расширение числа входов. В противном случае осуществлялась бы концентрация входящей нагрузки.

 

      

 

Рис. 9 Вероятностный граф для трехзвенного коммутатора

 

Окончательно можно получить следующее соотношение для блокировки:

 

В=[1-(1- p/ )²]^к.                                                                                      (8)

 

Число точек коммутации (смотри табл.2) для больших коммутаторов получается также большим. Поэтому используют пятизвенные и более коммутационные схемы.

 

Табл. 2 Трехзвенный коммутатор с вероятностью блокировки 0,0002 и занятостью входящей линии 0,1

 

       В табл.3 приведены требуемое число точек коммутации и рабочие характеристики для случая загрузки входов на 70 %.

Формула Ли для вероятности блокировки не учитывала зависимости между вероятностями занятости линий. На самом деле, чем больше линий заняты, тем с меньшей вероятностью будут использоваться оставшиеся.

       Более строгий анализ многозвенных коммутаторов выполнил в 1950 году Якобеус. Окончательное выражение, полученное по методу Якобеуса для трехзвенного коммутатора, имеет вид

 

                                                     (9)

 

где - число входов (выходов) первого (третьего) звена; - число матриц второго звена; - загрузка входов.

Сравнение результатов с результатами расчетов по формуле Ли и по методу Якобеуса (9) приведены в табл. 4. Метод графов Ли дает слишком пессимистические оценки вероятности блокировки при .

Интересны сравнения для других случаев вероятности загрузки входов (табл. 5).

       Из табл.5 следует, что метод графов Ли постоянно занижает вероятность блокировки, если в схеме имеется концентрация. Метод Якобеуса, представленный выражением (9), также занижает вероятность блокировки в случаях, когда используется высокий коэффициент концентрации. В случае необходимости для расчета систем с высокой концентрацией и большой вероятностью блокировки можно использовать более точные методы. Однако коммутаторы с большой вероятностью блокировки обычно не имеют практической значимости.

Если три средние звена пятизвездного коммутатора рис. 10 строго неблокируемы (), то данная структура позволяет сэкономить 8704 точки коммутации в каждом коммутаторе центрального звена трехзвенного коммутатора емкостью 32768 линий, представленного ранее. Следовательно, при построении структуры транзитного коммутатора емкостью 32768 линий, параметры которого даны в табл. 3, можно сэкономить более 1 млн точек коммутации.

 

Табл. 3 Параметры трехзвенных коммутаторов с вероятностью блокировки 0,0002 и занятостью входящей линии 0,7

 

 

Табл. 4 Сравнение методов расчета вероятности блокировки (р=0,7)

 

 

Табл. 5 Сравнение методов расчета вероятности блокировки (р=0,1)

 

                       

 

 

Для уменьшения точек коммутации применяют более трех звеньев. Так на рис. 10 и 11 приведены пятизвенная схема коммутации и соответствующий ей граф.

Рис. 10 Пятизвенная коммутационная схема

 

Рис. 11 Вероятностный граф для пятизвенной коммутационной схемы

 

              Из вероятностного графа рис. 11 следует вероятность блокировки

 

,

 

где  и

       Может быть достигнута и еще большая экономия числа точек коммутации, если использовать большее число звеньев для замены изначально более крупных коммутаторов первого и третьего звена.