Проверка статистических гипотез. Дисперсионный анализ

2.1. Понятие статистической гипотезы

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (результатам наблюдения).

Проверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы оценить, можно ли считать случайным расхождение между выдвинутой гипотезой и результатом выборочного наблюдения.

Проверяемая гипотеза называется основной и обозначается через Н₀. Суть проверки – убедиться в отсутствии систематической ошибки между исследуемым параметром генеральной совокупности и заданным значением, то есть проверяется гипотеза о нулевом расхождении между ними, поэтому гипотезы называют нулевой: . Гипотеза, альтернативная основной, обозначается через , т.е. .

Выдвигаемые гипотезы могут быть простыми и сложными. Простая гипотеза однозначно характеризует оцениваемый параметр генеральной совокупности. Сложная гипотеза определяет область возможных значений исследуемого параметра.

Поскольку при проверке гипотезы используются данные выборочного наблюдения, вывод о её допустимости носит вероятностный характер, т.е. не исключена возможность ошибки. При этом может иметь место ошибка двух родов:

- отвергают гипотезу  или иначе принимают альтернативную гипотезу ,тогда как на самом деле гипотеза  верна. Это ошибка первого рода;

- принимают гипотезу , тогда как на самом деле высказывание  неверно, то есть верной является гипотеза . Это ошибка второго рода.

Уровень значимости  – это вероятность ошибки первого рода, то есть

,

где , − вероятность того, что будет принята гипотеза , если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза . Вероятность  задается заранее, разумеется, малым числом, поскольку это вероятность ошибочного заключения, при этом используют стандартные значения: 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

Например,  означает следующее: если гипотезу  проверять по каждой из 100 выборок одинакового объёма, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершаем ошибку первого рода.

Вероятность ошибки второго рода обозначают , т.е. ,

где  – вероятность того, что будет принята гипотеза , если на самом деле верна гипотеза  (таблица 2.1.1).

Таблица 2.1.1 − Ошибка при проверки статистических гипотез

Решение, принимаемое о гипотезе по выборке	Фактически
	гипотеза  верна	гипотеза  неверна, т.е. верна гипотеза
Гипотеза отвергается, т.е. принимается гипо-теза	Ошибка первого рода, её вероятность	Правильное решение, его вероятность
Гипотеза  прини-мается	Правильное решение, его вероятность	Ошибка второго рода. Её вероятность

Для того чтобы сделать вывод о соответствии результатов выборочного наблюдения выдвинутой гипотезе, необходимо принять определённый критерий, в соответствии с которым устанавливается, при каких результатах выборочного обследования основная гипотеза не может быть отклонена, а при каких от неё необходимо отказаться.

В зависимости от вида проверяемых гипотез (о среднем значении, законе распределения, взаимосвязи признаков и т.д.) выбираются разные критерии (t – статистика Стьюдента; ² – критерий Пирсона; F − критерий Фишера и др.).