Геометрически дисперсия – это центральный момент инерции площади под кривой плотности распределения. Размерность дисперсии – квадрат размерности с.в.

Среднеквадратическое отклонение (стандарт): .

Асимметрия непрерывной с.в. Х:

                          .                                    

Если с.в. Х распределена симметрично относительно своего м.о., то А(х)= 0.

Коэффициент изменчивости (вариации) с.в. Х – отношение стандарта к м.о.:

                                     ,                                           

где – стандартное отклонение .

Кванти́ль (или квантиль порядка ) – числовая характеристика закона распределения случайной величины; это такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей . Квантиль первого порядка Р(х) – обратная функция зависимости х от Р(х).

 

 

Понятие надежности сооружения. Резерв прочности.

Характеристика безопасности

Общее условие непревышения предельного состояния может быть представлено в виде

                        y (F_p, R_p, g _n, g _a, g _c,с) ³ 0.

Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий. Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных связей. Тогда это условие  можно представить в виде:

                         .                                      

Условие непревышения границы области допустимых состояний конструкций может определяться как

R – F > 0,

где с.в. R – обобщенная прочность конструкции (несущая способность);

F – обобщенная нагрузка, или иначе

S = R – F,

где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной);

R – несущая способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая пре-дельному состоянию конструкции по прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.); S – резерв прочности.

Вероятность неразрушения конструкции или надежность N – это вероятность непревышения случайной величины, характеризующей предельное состояние. Если кривая распределения этой величины каким-то образом определена, то по интегральной кривой распределения вероятности  можно найти квантиль вероятности N того, что реализация случайной величины S будет меньше этого квантиля, отсекая на кривой ординату  = N.

Вероятность разрушения конструкции:

.

При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S:

            ;   .                                          

Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)

                      .                                      

b показывает число стандартов s (S), укладывающихся в интервале от S до  (рисунок).

Из определения вариативности с.в. следует

                                              ,                                             

где V (S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва прочности).

Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса

                                    K = R / F,                                              

здесь K, R, F – случайные величины.

Тогда вероятность разрушения:

,

где P_k (1) – функция распределения коэффициента запаса при аргументе K =1.

Вероятность неразрушения:

P = P (K >1).

М.о. коэффициента запаса (коэффициент детерминированный)

.

Разделим числитель и знаменатель правой части выражения b  на  и получим характеристику безопасности:

 ,

где ,  – коэффициенты вариации усилия и несущей способности.

Использование значений V (F) и V (R) имеет то преимущество, что они могут быть сравнительно легко оценены с достаточной точностью даже при отсутствии полных статистических данных относительно с.в. R и F. Кроме того, при изменении значения нагрузки (например, в результате увеличения площади, с которой она собирается), равно как при изменении прочности несущих элементов (например, вслед-ствие увеличения размеров поперечных сечений), коэффициенты вариации V (F) и V (R) остаются постоянными.

Из выражения b при делении на  числителя и знаменателя видно, что при , при . Можно доказать, что при увеличении  от 1 до ¥ b монотонно изменяется от 0 до .