Безразмерные величины. Понятие критериев подобия

Рассмотренная система уравнений Навье-Стокса, выражающая основные законы сохранения, инвариантна его отношению к преобразованию координат. Но можно изменять параметры, используя масштабирование, то есть используя различные комбинации зависимых и независимых переменных. При этом описываются целые классы течений.

Для задач внешнего обтекания в качестве величин, с которыми сравниваются параметры потока. Выбираются следующие:

1. параметры потока на (там поток постоянный).

 – характерный размер.

Здесь можно пронормировать и работать со следующими параметрами:

Находя безразмерные параметры, можно получить размерные.

Рассмотрим системы Навье-Стокса в одномерном случае.

.

Тогда имеем систему:

Первые два уравнения можно упростить:

Подставляя все параметры (через безразмерные) в уравнения Навье-Стокса, получим:

Число Маха.

Оно не только классифицирует течения, но и влияет на физико-математические характеристики течения. То есть если известно, что нестационарные течения имеют гиперболический характер, то стационарные течения зависят от числа Маха.

 – гиперболические,  – эллиптические.

Задача. Течение в канале переменного сечения (сопла Лаваля). Рассматриваются одномерные течения совершенного газа, описанные системой:

 – переменные параметры, .

 

 

 

Итерации выполняются до того, как:

.

Решать методом расщепления.

1.3.2. Преобразования уравнений системы. Переход к недивергентной форме записи уравнений Навье-Стокса в различных исходных газодинамических переменных

.                                               (1)

Рассмотрим новый вектор состояний потока , взаимообратный .

Перейдем в уравнении (1) к :

.

 – матрица Якоби.

Матрица обратима, то есть

.

Умножим уравнение (1) на матрицу

.

.                                       (2)

– недивергентная форма.

.

.

Например, если

,

то                                        

Теперь все подставим в уравнение (2):

где                      .

Получим новую систему уравнений Навье-Стокса в недивергентной форме.

Рассмотрим виды этой системы уравнений в зависимости от вектора .

Рассмотрим вначале одномерный случай:

а) .

.

.

.

.

.

.

.

    Видим, что матрицы совпадают с точностью до знака. Это связано с записью тензора напряжений.

.

.

 в трехмерном случае

; .

В многомерном случае:

.

б)

В этом случае меняются коэффициенты  и .

 

 

    Тогда в этом случае:

.

 

Уравнение энергии:

Используя уравнение неразрывности:

.

Преобразуем уравнение энергии:

.

 

в) .

 

 

 

 

Схемы расщепления по пространственным переменным и физическим процессам для уравнения недивергентной формы

.                               (1)

 

Из уравнения (1) имеем

 

 

 – по пространственным переменным

 

 

 

.

.

 

.

 

В зависимости от выбора вектора состояний получаем различные матрицы  и различные цепочки расщепленных операторов.