Передача тепла теплопроводностью. Закон Фурье.

Основным законом передачи тепла теплопроводностью является закон Фурье, согласно которого количество тепла dQ, передаваемое посредством теплопроводности через элемент поверхности dF, перпендикулярный тепловому потоку, за время dτ пропорционально градиенту  поверхности dF и времени dτ:

dQ = -λ dFdτ

q = Q/Fτ = -λ  - плотность теплообменного потока

знак «минус» показывает тепло, перемещающееся в сторону падения температуры.

λ – коэффициент теплопроводности. λ =

λ показывает, какое количество тепла проходит вследствие теплопроводности в единицу времени через единицу поверхности теплообмена при падении температуры на 1 К. Величина λ определяет ее способность проводить тепло зависит от природы, структуры, температуры вещества.

 

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности

 

Выделим в однородном изотропном теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, объемом dV.

Физические свойства тела: плотность (ρ), теплоемкость (с), теплопроводность (λ) одинаковы во всех точках тела и не изменяются во времени. Температура на левой грани – t, на противоположной: t + dx

Количество тепла, входящего в прямоугольник за промежуток времени dτ по оси х через грань dydz будет:

Q_x = -λ  dydzdτ

По оси у, через грань dхdz:

Q_у = -λ  dхdzdτ

По оси z, через грань dхdy:

Q_z = -λ  dydzdτ

Количество тепла, выходящее из параллельной грани через противоположный за то же время:

Q_x+dx = -λ  dydzdτ +

+ [-λ  ()dxdydzdτ]

Q_y+dy = -λ  dxdzdτ +

+ [-λ  ()dxdydzdτ]

Q_z+dz = -λ  dxdydτ +

+ [-λ  ()dxdydzdτ]

Количество тепла, входящее через соответствующую грань параллелепипеда не равно количеству тепла, выходящему через противоположную грань, т.к. часть тепла расходится на повышение температуры в V параллелепипеда. Разность между величинами вошедшего и вышедшего количества тепла в параллелепипед за время dτ будет равно:

По оси х: dQ_x = Q_x - Q_x+dx =

= λ dxdydzdτ

По оси у: dQ_y = Q_y - Q_y+dy =

= λ dxdydzdτ

dQ_z = Q_z - Q_z+dz =

= λ dxdydzdτ

Полное приращение тепла в параллелепипеде за время dτ составит:

 

= dQ + dQ_x + dQ_y + dQ_z =

= λ( + + )dxdydzdτ

Учитывая, что dxdydz = dV;

dQ = dQ_x + dQ_y + dQ_z = λ ( + + )dVdτ

Выражение в скобках – уравнение Лапласа:  (1), т.е.

dQ = λ  dVdτ

По закону сохранения энергии, приращение количества тепла в параллелепипеде равно изменению энтальпии, т.е.

dQ = dI = cρdV dτ (2), причем уравнение ( dτ) представляет собой приращение температуры параллелепипеда за промежуток времени dτ. Приравняем уравнения (1) и (2): 

cρdV dτ = λ  dVdτ

λ/ сρ = а

= а  (3) - получим уравнение теплопроводности.

Уравнение (3) определяет температуру в точке тела, через которую тепло передается теплопроводностью.

а – коэффициент температуропроводности.

а = [λ/ сρ] = [ ] = [ ]

 

а характеризует теплоэнерционные свойства тела. При прочих равных условиях быстрее нагреется или остынет то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.